едно неравенство за кандидатстудентите....

[ганка симеонова]

да се реши неравенството:
[tex] \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\le 2x-x^{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{log_{3}10 }-\frac{lg3}{log_{0,1}10 } [/tex]

[Реклама]

[Tony_89]

[tex]-\frac{1}{log_{3}10} - \frac{lg3}{log_{0,1}10} = -lg3 - \frac{lg3}{log_{10^{-1}}10} = -lg3 - \frac{lg3}{-log_{10}10} = -lg3 + lg3 = 0[/tex]

[tex]\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{2} -(x^{2} - 2x + 1) = \sqrt{2} - (x-1)^{2} \le \sqrt{2}[/tex]

[tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 = \frac{x^{4} - 2x^{2} + 1}{x^{2}} = \frac{(x^{2} - 1)^{2}}{x^{2}} \ge 0 =>[/tex]

[tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \ge 2 =>[/tex]

[tex]|\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} \ge \sqrt{2}[/tex]
[tex]|\sqrt{2} - (x-1)^{2} \le \sqrt{2} =>[/tex]

Равенство може да се достигне само при

[tex]\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{2} - (x-1)^{2} = \sqrt{2}[/tex]

Т.е. при x = 1

[ганка симеонова]

браво! чудесно решение..