Задачи от олимпиади

[martinmaestro]

1. Може ли естествените числа от 1 до 7 да се наредят по окръжност, така че всяко число да се дели на разликата на двете си съседни (от по-голямото се вади по-малкото) ?

Може ли естествените числа от 1 до 9 да се наредят по същия начин ?

2. Докажете, че за всяко естествено число n, числото A = 625 + 4.9²ⁿ не е просто ?

3. Даден е остроъгълен [tex]\Delta [/tex]ABC:
а) Страната AC = b, а страната BC = a (a>b) и височините AA₁ и BB₁ имат дължини съответно m и p. Върху отсечката BB₁ е избрана такава точка K, че BK = p - m. През точка К е построена права l [tex]\bot[/tex] BB₁, която пресича страната BC в точка M. Да се докаже, че BM = a - b и [tex]\angle [/tex]AMC = [tex]\angle [/tex]AMK

б) Ако [tex]\Delta [/tex]ABC е равностранен и точките M и N лежат върху AC така, че AM = MN = NC, а точка P e от страната BC, че BC = 3PB, Да се намери [tex]\angle [/tex]BNP + [tex]\angle [/tex]BMP.

Моля ви се трябват ми за утре?

[Реклама]

[DeHuTtY]

Ооо, на мен 1ва ми се беше падала на олимпиада.

[marti1295]

Знам,че вече е късно , но се сетих за 1 задача:

а) Да, например 1-5-6-2-7-3-4-1.
б) Тъй като нечетно число не се дели на четно, то нечетно число не може да стои между две числа с еднаква четност, т.е. нечетните числа са групирани по две.Понеже от 1 до 9 има нечетен брой нечетни числа, то не е възможно те да бъдат наредени по искания начин.
Не съм сигурен, но май задачата е от олимпиадата през 2006 година.

[JusTok]

Някой има ли задачите от 3тия кръг на олимпиадата за 8 клас миналата година ?

[Пафнутий]

[Пафнутий]

Имам грешка на 2-ра. Благодаря на ММ, че сигнализира
Значи ето го истинското решение:


[tex]A=625+4.9^{2n}=5^4+4.3^{4n}=5^4+4.(3^n)^4[/tex] Полагаме [tex]3^n=l , 5=h[/tex] Това [tex]A[/tex] добива вида [tex]A=h^4+4l^4=h^4+4l^4-4(hl)^2+4(hl)^2=(h^2+2l^2)^2-(2hl)^2=(h^2+2l^2-2hl)(h^2+2l^2+2hl)[/tex]
Връщаме се в полагането [tex]A=(25+2.3^{2n}-10.3^n)(25+2.3^{2n}+10.3^n)[/tex]

ПП Благодаря на ММ за градивната критика