Примерен вариант на олимпиада за 12 клас

[borku]

Бих се радвал ако видя решенията. Ако искате да оставите другите да помислят и да не давате веднага отговорите, моля пратете ми ЛС (утре има олимпиада по математика и малко или много ми трябват)

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 1

[tex]\sqrt{log_{x}5x}.log_{5}x=-\sqrt{2};[/tex]
[tex]DM_{x}: x\ge \frac{1}{5};[/tex]
[tex]\sqrt{log_{x}5x}.log_{5}x=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sqrt{log_{x}5 + log_{x}x}.log_{x}5=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{log_{5}5}{log_{x}5}+1}.log_{5}x=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{5}x\sqrt{\frac{1}{log_{5}x}}=-\sqrt{2};[/tex]
[tex]log_{5}x=t \Rightarrow t\sqrt{\frac{1}{t}+1}=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t\sqrt{\frac{1+t}{t}}=-\sqrt{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1+t}{t}}=-\frac{\sqrt{2}}{t} \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{1+t}{t}=\frac{2}{t^2}, t\neq 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t^2+t-2=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t_{1}=1, t_{2}=-2[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1}=5, x_{2}=\frac{1}{25}; x_{1} \in DM_{x}, x_{2} \cancel \in DM_{x}[/tex]

[martosss]

За 3-та задача се използва, че [tex](2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)=1[/tex], откъдето едното се полага р, другото става 1/р и се решава кв. у-е.. после се замества и се намират отговорите.

[Spider Iovkov]

Задача 3

[tex](\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=\frac{13}{6},[/tex]
[tex]DM_{x}: x \in R;[/tex]
[tex]2+\sqrt{3}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=\frac{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}=\frac{2^2-\sqrt{3}^2}{2-\sqrt{3}} \Rightarrow 2+\sqrt{3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}.[/tex]

Тогава даденото уравнение придобива малко по-друг вид:

[tex](\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=\frac{13}{6} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x}+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=\frac{13}{6};[/tex]
[tex](\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=t \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{1}{t}+t=\frac{13}{6} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 6t^2-13t+6=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t_{1}=\frac{2}{3}, t_{2}=\frac{3}{2 };[/tex]
[tex](\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=\frac{2}{3} \Leftrightarrow x_{1}=log_{\sqrt{2-\sqrt{3}}}\frac{2}{2}; (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=\frac{3}{2} \Leftrightarrow x_{2}=log_{\sqrt{2-\sqrt{3}}}\frac{3}{2}[/tex].

[ганка симеонова]

[martosss]

нещо тия отговори на 3-та 19/6 и -1 не ми харесват, я си погледни хубаво дискриминантата

[Spider Iovkov]

Какъв съм прост, . Вместо с корена от дискриминантата, работя с [tex]25[/tex], подкоренната величина, . Оправих го, . Явно толкова много съм бързал да напиша решението, че съм сбъркал в тая бързина, .

[Spider Iovkov]

Задача 4

[tex]b_{n}=b_{1}+(n-1)d;[/tex]
[tex]\Rightarrow b_{1}+log_{\sqrt[d]{x}}a_{n}=b_{n}+log_{\sqrt[d]{x}}a_{1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{\sqrt[d]{x}}a_{n}-log_{\sqrt[d]{x}}a_{1}=b_{n}-b_{1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{\sqrt[d]{x}}\frac{a_{n}}{a_{1}}=b_{n}-b_{1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{\sqrt[d]{x}}\frac{a_{n}}{a_{1}}=b_{1}+(n-1)d-b_{1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{x^{\frac{1}{d}}}\frac{a_{n}}{a_{1}}=(n-1)d \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x^{\frac{(n-1)d}{d}}=\frac{a_{n}}{a_{1}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x^{n-1}=\frac{a_{n}}{a_{1}} \Rightarrow \\ \Rightarrow x=\sqrt[n-1]{\frac{a_{n}}{a_{1}}}[/tex]

[NoThanks]

Да ви пита човек защо решавате темата за 11ти клас, след като човекът е казал, че иска тази за 12ти

[NoThanks]

Относно темата за 12ти клас:
1) просто, привеждаш под общ знаменател, пишеш производната, намираш, каквото намираш
2)А(3;0). Нека [tex]y_{1}[/tex] е правата минаваща през А и перпендикулярна на y = |2x-2|
[tex]y_{1} = kx+n; y_{1} \transcend A => 0 = 3k+n[/tex]
Но y1 e перп на |2x-2|
2.1)|2x-2| = 2x-2 => k=2 => k(y1) = -1/2 => n = 3/2 => [tex]y_{1} = -x/2+3/2[/tex] Но 2те прави се пресичат точно в петата на перпендикуляра => -x/2 + 3/2 = 2x-2 =>x=7/5; y = 4/5. => петата на перпендикуляра е H1(7/5;4/5)
2.2) |2x-2| = 2-2x => k=1/2 n =-3/2 => x/2-3/2=2-2x => x =7/5; y =-4/5
=> петата на перп. H2(7/5;-4/5)
Сега остава да намериш разстоянията по ф-лата
[tex]AH_{1} = \sqrt{(x_{a}-x{H})^2 + (y_{A}-y_{H})^2}[/tex]
и другото пак така. Виждаш кое е по-малкото.
3) Означаваш BD=x; CD = 3x; AC = 4x.
BE - медиана в АБД. Означаваш AD = c. Ползваш ф-лата за медианата за BЕ, после ф-лата за медианата за CE. Откъдето (ако не бъркам) намираш
[tex]c^2 = 50x^2 -28=AD^2[/tex]
[tex]AB = 2\sqrt{6x^2+1}[/tex]
Сега от теоремата на Стюарт(Архимед) за AD имаш:
[tex]c^2 = \frac{x.16x^2 + 3x(24x^2 +4x)}{4x} - 3x^2[/tex]
[tex]c^2 = 22x^2 +3 - 3x^2 = 50x^2 -28 = 19x^2 +3 => 31x^2 = 31 => x =1[/tex]
=>Страните са: 4;4;[tex]2\sqrt{7}[/tex], откъдето си намираш лицето, както ти душа иска

[Пафнутий]

Първата на 12 клас:
[tex]2\sqrt{x}+\frac{1}{4\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{2\sqrt{x}.\frac{1}{4\sqrt{x}}}=\sqrt{2}[/tex], съгласно СА-СГ. Минимум се достига при [tex]2\sqrt{x}=\frac{1}{4\sqrt{x}}\Rightarrow x=\frac{1}{8}[/tex]

[Spider Iovkov]

Задача 2

[tex]\sqrt{3}sinx-cosx=\sqrt{cos^2x+3sin^2x-\sqrt{3}sin2x};[/tex]
[tex]sin2x=2sinxcox \Rightarrow \sqrt{3}sinx-cosx=\sqrt{cos^2x+3sin^2x-2\sqrt{3}sinxcosx};[/tex]

[tex]DM_{x}: \begin{array}{||}\sqrt{3}sinx-cosx\ge 0\\cos^2x+3sin^2x-2\sqrt{3}sinxcosx\ge 0\end{array}[/tex]

[tex](\sqrt{3}sinx-cosx)^2=(\sqrt{cos^2x+3sin^2x-2\sqrt{3}sinxcosx})^2 \Rightarrow \\ \Rightarrow (\sqrt{3}sinx)^2-2\sqrt{3}sinxcosx+cos^2x=cos^2x+3sin^2x-2\sqrt{sinxcosx} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 0.x=0[/tex],
тоест решения на уравнението са всички числа от дефиниционното множество.

Дано уравнението е така, някой по-умен да изкаже мнение, .

[martosss]

всъщност [tex]\sqrt{cos^2x+3sin^2x-\sqrt 3sin2x}=\sqrt{cos^2x-2*cosx*\sqrt 3sinx+(\sqrt 3sinx)^2}=\sqrt{(cosx-\sqrt 3sinx)^2}=|cosx-\sqrt 3sinx|[/tex] и сега тъй като от Д.С. имаш, че [tex]\sqrt 3 sinx-cosx\ge 0[/tex], то като разкриеш модула се получава 0=0, тоест всяко х от Д.С е решение, сега остава да намериш кога [tex]\sqrt 3sinx-cosx\ge 0[/tex] като разделиш на 2 се получава формула за [tex]cos(\alp +\be )[/tex], тоест [tex]-cos(x+60)\ge 0[/tex] и като решиш това си готов