Ортоцентричен педален триъгълник

[r2d2]

Разглеждаме само остроъгълни триъгълници. Нека петите на височините са А1,В1 и С1.
Триъгълникът А1В1С1 наричаме ортоцентричен педален триъгълник. За по-кратко ще го наричаме само педален.
Доказахме (вж. преднишните постове), че [tex]\Delta AB1C1 \sim \Delta ABC[/tex]. Същото важи и за другите два триъгълника [tex]\Delta CB1A1[/tex] и [tex]\Delta BA1C1. [/tex]Лесно се съобразява, че [tex]\angle CC1A1=\angle CC1B1=90-\gamma. [/tex]Получихме, че височините на [tex]\Delta ABC[/tex] са ъглополовящите на [tex]\Delta A1B1C1[/tex].

Следователно ортоцентърът Н на АВС е център на вписаната в A1B1C1 окръжност.

[Реклама]

[r2d2]

Th. [tex]OC \perp A1B1[/tex].

Построяваме допирателната ТС. [tex]\angle TCA = \angle CBA=\beta[/tex] (периферен – вписан), но [tex] \angle B1A1C = \beta \Rightarrow A1B1 || CT \Rightarrow A1B1 \perp OC.[/tex]

[r2d2]

Следствие: [tex]S_ABC = \frac {A1B1+B1C1+C1A1}{2}R.[/tex]
Това е очевидно от предишния резултат, защото за всеки четириъгълник (може и да не е изпъкнал) с взаимноперпендикулярни диагонали е в сила [tex]S= \frac {d_1 d_2}{2}[/tex]

[r2d2]

Теорема на Фаняно: Нека АВС е остроъгълен. Нека M e на страната АС, N – от ВС и D от АВ. Периметъра на MND е минимален, когато това е педалният за ABC триъгълник.

Нека фиксираме D и да построим симетричните й спрямо AC и BC – Е и F. Понеже MD=ME; ND=NF, периметърът на MND ще е минимален когато E, M, N и F лежат на една права.

Вижда се, че [tex]CE=CD=CF[/tex] и че[tex] \angle ECF = 2 \gamma. [/tex] Понеже ECF е равнобедрен [tex]P_{MDN}=EF = 2EC \sin \gamma = 2CD \sin \gamma.[/tex]
Ясно е, че EF ще е най-малка, когато най-малка е CD, а това е така, когато CD e височината CC1.