Уравненийце

[Tony_89]

Нека да разчупим с една интересна задача

За кои стойности на a уравнението

[tex]x^{4} + x^{3} - ax + a^{2} = 0[/tex]

има 4 различни реални корена?

[Реклама]

[ганка симеонова]

раздели на квадрата на х и групирай първо с последно, второ с трето...

[Tony_89]

[joiced]

hora az se pomuchih da q resha tazi zadacha po nachina koito kazahte no ne moga da polucha 4 korena ako moje nqkoi po podrobno dami q obqsno che mn se draznq kato ne moga da resha nqkoq zadchka

[Tony_89]

След като разделиш на x² полагаш [tex]x - \frac{a}{x} = u[/tex]

[tex]u^{2} + u + 2a = 0[/tex]

За да има уравнението 4 различни решения, трябва

[tex]x - \frac{a}{x} = u[/tex]

да има 2 различни решения за x, т.е.

[tex]x^{2} - ux - a = 0[/tex] да има положителна дискриминанта:

[tex]u^{2} > - 4a[/tex]

И съответно [tex]u^{2} + u + 2a = 0[/tex] да има 2 различни решения за u,

така че за всяко едно от тях да има 2 за x в предното.

D = 1 - 8a > 0

a < 1/8

I случай: a E ( 0 ; 1/8 ) е решение, защото -4а < 0

II случай: а Е (-∞ ; 0)

-4a > 0

[tex]u^{2} > - 4a[/tex]

[tex]u \in (-\infty ; -\sqrt{-4a}) U (\sqrt{-4a} ; +\infty) [/tex]

[tex]f(u) = u^{2} + u + 2a[/tex]

2а < 0 => единият корен е отрицателен, а другият е положителен =>

=> Единият корен трябва да принадлежи на [tex](-\infty ; -\sqrt{-4a})[/tex],а другият на [tex](\sqrt{-4a} ; +\infty)[/tex]

Това е изпълнено при:

[tex]|f(\sqrt{-4a}) < 0[/tex]
[tex]|f(-\sqrt{-4a}) < 0[/tex]

[tex]f(\sqrt{-4a}) < 0[/tex]

[tex]-4a + \sqrt{-4a} + 2a < 0[/tex]

[tex]-2a + \sqrt{-4a} < 0[/tex]

[tex]-2a > 0, \sqrt{-4a} > 0 =>[/tex]

=> Това не може да е изпълнено =>

[tex]a \in (0 ; \frac{1}{8})[/tex]

[joiced]

blagodarq ti tony