задача

[qwerradi]

Даден е ΔАВС и точки М, N и Р съответно върху страните АВ, ВС и СА такива,
че АМ : МВ = ВN : NС = СР : РА = 1 : 3. Ако лицето на триъгълника АВС е 64 cm2, да
се намери лицето на триъгълника MNP.

Моля за най- подробно решение

[Реклама]

[ганка симеонова]

нека означим:
[tex] \angle A=\alpha ,\angle B= \beta , \angle C=\gamma , AM=x, MB=3x, [/tex]
[tex] BN=y, NC=3y, CP=z, PA=3z. [/tex]
тогава, ако лицето на тр. АВС е S :
[tex] \frac{S_{AMP}}{S_{ABC }}=\frac{AM.AP.sin\alpha }{AB.ACsin\alpha }=\frac{x.3z}{4x.4z }=\frac{3}{16 } [/tex]
[tex]=> S_{AMP}=\frac{3}{ 16}S [/tex] аналогично:
[tex] S_{MBN}=S_{PCN}=\frac{3}{16 }S [/tex]
тогава:
[tex] S_{MNP}=S-3.\frac{3S}{16 }=\frac{7S}{16 } [/tex]