Една елементрарна задачка

[complex]

Немога да стигна до отговора на една лесна задачка:
[tex]3^x=36.8^{-\frac{x}{x+1}} [/tex] Аз я логаритмувам от двете страни при основа 3, но нищо не се получава.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex] 3^{x}=3^{2}2^{2}.2^{-\frac{3x}{x+1 } [/tex]
[tex] 3^{x-2}=2^{2-\frac{3x}{x+1 } ; 3^{x-2}=2^{\frac{2-x}{x+1 } [/tex]
[tex] 3^{x-2}=(2^{-\frac{1}{x+2 })^{x-2} [/tex]
първи случай: [tex] x-2=0 =>x=2 [/tex]
втори случай, когато х е различно от 2. тогава:
[tex] 3=2^{-\frac{1}{x+2 } [/tex]
[tex] -\frac{1}{x+2 }=log_{2}3 [/tex]
[tex] -x-2=log_{3}2 ; x=-2-log_{3}2=-log_{3}9-log_{3}2=-log_{3}18[/tex]

[complex]

Само не разбрах защо когато х е различно от 2 премахваме степента? Пък и в упътването в задачата пише да се логаритмува от двете страни, така няма ли да стене по лесно?

[ганка симеонова]

защото, когато х е различно от 2, все едно коренуваш двете страни с коренен показател х-2

[complex]

Ясно, благодаря ти. А би ли ми помогнала и със следната задача:
[tex]9^x-2^{x+\frac{1}{2}}=2^{x+\frac{7}{2}} - 3^{2x-1} [/tex]Знам, че задачите не са трудни, но нямам много опит с тях и затова ме затрудняват.

[soldier_vl]

[tex]9^x-2^{x+\frac{1}{2}}=2^{x+\frac{7}{2}} - 3^{2x-1} [/tex]
<=>[tex]9^x-\sqrt{2}.2^x=\sqrt{2^7}.2^x-\frac{1}{3} 9^x[/tex]
[tex]\frac{4}{3} 9^x-9\sqrt{2}.2^x=0 /:2^x[/tex]
[tex]\frac{4}{3} (\frac{9}{2})^x=9\sqrt{2} /*\frac{3}{4 } [/tex]
[tex](\frac{9}{2})^x=\frac{27}{4}\sqrt{2}[/tex]
Дано това ти помогне!(ако е вярно)

[ганка симеонова]

решението на soldier_vl е абсолютно вярно, но аз ще го доразвия до край:
[tex] (\frac{9}{2 } )^{x}=(\frac{3}{\sqrt{2}})^{2x} [/tex]- това е лявата страна. а дясната страна е:
[tex] \frac{27\sqrt{2} }{4 }=\frac{3^{3}\sqrt{2} }{(\sqrt{2})^{4} }=(\frac{3}{\sqrt{2} })^{3} [/tex]Тогава, като изравним степенните показатели, получаваме:
[tex] 2x=3; x=\frac{3}{2 } [/tex]

[complex]

Не мога да разбера защо не влизат в решението всичките ми отговори.
[tex](x^2+x-1)^{x^2-1}=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2+x-1)^{x^2-1}=(x^2+x=1)^0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm 1[/tex]
[tex]x^2+x-1=1 \Leftrightarrow x_{3/4}=1;-2[/tex]
А отговорите на задачи са само 1 и -2. В смисъл винаги ли трябва да ги проверяваме дали отговорите са решения на задачата?

[ганка симеонова]

защото, когато х=-1, лявата страна приема вида [tex] 0^{0}[/tex], което е неопределеност. при такива уравнения с променлива основа и променлив показател винаги прави проверка накрая!!!!!!!!!

[ганка симеонова]

ще логаритмуваме двете страни на уравнението с десетичен логаритъм:
[tex] lgx^{lgx-2}=lg1000 ; D.S. x>0; (lgx-2)lgx=3 [/tex] полагаме:
[tex] lgx=t ; (t-2)t=3 ; t^{2}-2t-3=0 ; t_{1}=-1 ; t_{2}=3 [/tex]
връщаме се в полагането:
[tex] lgx=-1; x=\frac{1}{10 } \in D.S. ; lgx=3 ;x=1000\in D.S.[/tex]

[garion]

[complex]

Ганка аз изтрих отговора защото реших задачата. Ето аз как я реших:
[tex]x^{lgx-2}=1000[/tex] Логаритмуваме от двете страни [tex]log_xx^{lgx-2}=log_x1000 \Leftrightarrow \frac{1}{log_x10} - 2=3log_x10[/tex] Заместваме [tex] log_x10=y [/tex] [tex]\Leftrightarrow 3y^2 + 2y - 1=0 [/tex]
[tex] x_{1/2}=\frac{-2 \pm 4}{6}=\frac{1}{3}; -1 [/tex]
[tex]log_x10=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=1000 [/tex]
[tex]log_x10=-1 \Leftrightarrow x=0,1[/tex]

[ганка симеонова]

хей, ти си упорито момче и ще се справиш!!!!!!!!!!!!!!!!!! пожелавам ти УСПЕХ!

[complex]

Ганка благодаря за пожеланието. Ето лесна задачка, която нещо не мога да я реша.
[tex]\begin{tabular}{|l}x.y=40\\x^{lgy}=4\end{tabular}[/tex]

[Tony_89]

ДС:

[tex]|x > 0[/tex]
[tex]|y > 0[/tex]

[tex](\frac{40}{y})^{lgy} = 4[/tex]

[tex](\frac{4}{y})^{lgy}.10^{lgy} = 4[/tex]

[tex](\frac{4}{y})^{lgy}.y = 4[/tex]

[tex](\frac{4}{y})^{lgy} = \frac{4}{y}[/tex]

[tex]lgy = 1[/tex] или [tex]\frac{4}{y} = 1[/tex], защото 1, на

която и да е степен си е пак 1 (същото важи и за 0, и за -1 при

нечетни степени, но [tex]\frac{4}{y} > 0[/tex] )

[tex](4 ; 10) , (10 ; 4) [/tex]

[complex]

Извинявам се за невежеството си но те разбрах до тук:
[tex]lgy=1 \Leftrightarrow y=10 \Leftrightarrow x=4[/tex] Но това [tex]\frac{4}{y}=1 [/tex] не те разбрах от къде дойде.

[Infernum]

[Tony_89]

[complex]

Infernum разбирам идеално как се получава системата, която си написал, но не разбирам как трябва да продължа? С формулите на Виет да съставя квадратно уравнение ли или да немера b и c? Извинявам се, но в момента съм зациклил и нищо не мога да реша. Ще ми помогнете ли и със следните задачи:
[tex]6^{2x+3}\le 2^{x+7}.3^{3x-1}[/tex]

[tex]|log_3(x-3)\ge 5[/tex] При тази задача намирам критичната точка на х=4 и разглеждам системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}log_3(x-3)\ge 5\\log_3(x-3)<-5 \end{tabular}[/tex]
Така ли се решава задачата, защото не ми се получава отговора.

[tex]lg|\frac{2x-1}{x+1}|<0 [/tex]

[Infernum]