несобствени интеграли, задачка

[Infernum]

Докажете, че ако функцията

[tex]F(x)=\int_{c}^{x}f(t)dt[/tex]

е ограничена за всяко x>>0, c > 0, то интегралът

[tex]\int_{c}^{\infty}\frac{f(x)}{x^\alpha}dx[/tex]

е сходящ, за всяко α>0.

[Реклама]

[Infernum]

Тъй като функцията F(x) е ограничена, съществува константа M такава, че за всяко x > c е изпълнено неравенството |F(x)|<M.

Тогава

[tex]\int_{c}^{\infty}\frac{f(x)}{x^\alpha}dx=\int_{c}^{\infty}\frac{dF(x)}{x^\alpha}=\lim_{x \to \infty}\frac{F(x)}{x^\alpha}-\lim_{x \to c^+}\frac{F(x)}{x^\alpha}+\alpha \int_{c}^{\infty}\frac{F(x)}{x^{\alpha +1}}dx=\alpha \int_{c}^{\infty}\frac{F(x)}{x^{\alpha +1}}dx[/tex]

Като се оцени интеграла по модул и се вземе предвид ограничеността на F(x) се получава

[tex]\left|\int_{c}^{\infty}\frac{f(x)}{x^\alpha}dx \right|=\left|\alpha \int_{c}^{\infty}\frac{F(x)}{x^{\alpha +1}}dx \right|<\alpha \int_{c}^{\infty}\frac{\left|F(x)\right|}{x^{\alpha +1}}dx<\alpha M \int_{c}^{\infty}\frac{dx}{x^{\alpha +1}}[/tex]

Интегралът стоящ от дясно е сходящ, тъй като α>0.
Съгласно принципа за сравняване на несобствени интеграли, изходният интеграл е сходящ.