Наглед проста задача за триъгълник, но..

[Synaptic]

Дадено: триъгълник ABC равноб. ( AC=BC=a ). AB = c.
a) Да се докаже, че: a³ + c³ = 3a²c.
Ако ъгъл ACB = 20 градуса
б) Да се намери ъгъл ACB, ако знаем че a³ + c³ = 3a²c.

Аз съм решил подточка а) по следният начин:
sin10 = c / 2.a
1/2 = sin3.10 = 3sin10 - 4sin³10
1/2 = 3.c/2.a - 4.c³/4.2a³
Тука се омешват и се получава

a³ = 3ca²-c³
И се доказва.

Подточка б) обаче, не виждам откъде да започна или по точно как да започна. Пробвах по обратният път, но не се получи..
Идей?!

[Реклама]

[ганка симеонова]

би трябвало, да се получи пак 20 градуса, но аз получавам друго и все пак ще ти напиша моето решение.. пускаме височина към основата СН и нека ъгъл CAH е алфа.
[tex] cos\alpha =\frac{AH}{AC }=\frac{c}{2a },\frac{c}{a }=2cos\alpha [/tex]
от формулата за косинус на утроен ъгъл имаме:
[tex] cos3\alpha =4cos^{3}\alpha -3cos\alpha , 4cos^{3}\alpha =cos3\alpha +3cos\alpha , 8cos^{3}\alpha =2cos3\alpha +6cos\alpha [/tex]делим уравнението
[tex] a^{3}+c^{3}=3a^{2}c [/tex] на [tex] a^{2}c [/tex]
[tex]\frac{a}{c } +\frac{c^{2}}{a^{2} } =3,\frac{1}{2cos\alpha}+4cos^{2}\alpha =3 [/tex]
[tex] 1+8cos^{3}\alpha =6cos\alpha , 1+2cos3\alpha +6cos\alpha =6cos\alpha [/tex]
[tex]cos3\alpha =-\frac{1}{2 } , 3\alpha =120^\circ, \alpha =40 ^\circ , \angle C=100^\circ [/tex]

[Synaptic]

Точно това ми е чудно, дали ако при 20 се получава това a³ = 3ca²-c³, дали това е единственият вариант да се получи това равенство... Защото решението ти е правилно, проверих го два пъти....

[ганка симеонова]

лошото е, че 100 градуса и 20 градуса не се допулват до 180 градуса

[Synaptic]

Що 20?!
Нали α = 40?! т.е ъгъл CAH? и триъгълника е равноб. => ABC = CAH = 40.
И става 100 + 2x40 = 180 градуса

[ганка симеонова]

ами , нали първоначално, в а) подусловие, ъгълът е 20. логично е, но не задължително, да е пак 20 или поне допълнение до 180. и аз не знам.. но и аз реши втория вариант няколко пъти и получих за ъгъла при основата 40.

[Synaptic]

Незнам, аз смятам, че има повече от един възможни отговора. В смисъл ако равенството е дадено не е задължително да се получи тоя ъгъл от подточка а), защото по обратният път по-който съм доказал равенството, да се убия да решавам немога да изкарам 20 градуса.

Иначе твоят метод е верен и аз го проверих..

ПС. Благодаря ти. :]

[ганка симеонова]

прав си, не винаги има еквивалент, но все пак си мисля, че може и да се докара отг. от 20 градуса, може нещо да ни убягва, пак ще помисля...

[r2d2]

Понеже задачата е определена с точност до подобие, можем да приемем, че а=1. Лесно с вижда, че куб. у-ние c^3+1=3c има два положителни корена, така че има два различни триъгълника.

[garion]

[ганка симеонова]

всеки може, да пропусне нещо. това го видях после, но не ми се влизаше в сайта)))