как се доказва sin3x=sinx(3-4sin^2(x))

[timberlake]

sin3x=sinx(3-4sin²x)
cos3x=cosx(4cos²x-3)

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[tex]z = cos 3x + i sin 3x = (cos x + i sin x)^3 = cos^3x + 3cos^2 x\, i sin x - 3 cos x \, sin^2 x - \,i sin ^3 x[/tex]

[tex]Re\,z = cos 3x = cos^3x - 3 cos x\, sin^2 x = cos x (cos^2 x - 3sin^2 x) = cos x(cos^2x - 3(1-cos^2x)) = cos x(4cos^2x - 3)[/tex]

[tex]Im\,z = sin 3x = 3cos^2 x\,sin x - sin^3x = sin x(3cos^2 x - sin^2x) = sin x(3(1-sin^2 x) - sin^2 x) = sin x(3 - 4 sin^2 x)[/tex]

[ObsCure]

sin3x=sin(x+2x)=sinxcos2x+cosxsin2x=sinx(1-2sin²x)+2sinxcos²x=sinx-2sin³x+2sinx(1-sin²x)=sinx-2sin³x+2sinx-2sin³x=3sinx-4sin³x=sinx(3-4sin²x)

Доказателството за cos3x се извършва аналогично.

[r2d2]

И сега, най-вероятно, човекът седи и пули какво е това i, Re, Im и си казва Rel..mentor e ВЪРХА!

А иначе [tex]\sin (2x+x)=\sin 2x \cos x+\sin x \cos 2x=2\sin x(1-\sin^2 x)+\sin x(1-2 \sin^2 x) = 3 \sin x - 4 \sin^3x[/tex]

[administrator]

Relinquishmentor дали е възможно по-сложно да се докаже?

[r2d2]

Да възможно е!

Ако въведеш \sin x = x - x^3/3! + x^5/5! ....

И ако мислите, че лудвам има книги по анализ, където това се прави така.

Въпросът е не как най-сложно, а как най-просто!

[Relinquishmentor]

Съжалявам. Покрай комплексните числа съм затъпял отвсякъде и навсякъде виждам имагинерни единици .

А и методът е добър, ако например искам да приложим за произволна степен, например

[Infernum]

Е какво толкова протестирате

Кой е казал, че задачите трябва да се решават по строго определена схема?

Доказателството не е сложно, то по-скоро е ефективно, тъй като на практика с изложения метод се доказват и двете тъждества наведнъж

[Relinquishmentor]

Не, бе, остави, и аз се включвам в протеста към това, което написах. Хубаво е винаги нещата да се разрешават с минимум знания. Ама понеже знам, че всички ще напишете тригонометричния път, рекох (па и заради [tex]i[/tex]- тата, дето ме преследват), я да драсна по-общия метод, та да се види, който не знае как става и за n-та степен.

[Infernum]