Решения на задачи от сборника на К. Коларов

[complex]

Предлагам в тази тема да напишем решенията на по-интересните задачи от сборниците на К. Коларов. Това ще е полезно за всички, които решават задачите от сборника. Например, ако някой решава дадена задача и се затруднява в решението или някъде греши с две кликания на мишката може да си свери. Пък и няма смисъл различни хора да пишат различни теми с едни и същи задачи, за решаване, защото не са прегледали всички теми в форума. На всеки, който му харесва идеята може да напише в темата решенията на различни задачи аз ще ги подреждам в това мнение. Ето пример как според мен трябва да изглежда задачата с решението и:

Стр. 116, зад. 121.Първият, третият и петият член на геометрична прогресия са съответно първи, четвърти и шестнадесети членове на аритметична прогресия. Да се определи четвъртият член на аритметичната, ако нейната разлика е 3.
Решение:
Членовете на геометричната прогресия са: [tex]a_1, a_3, a_5[/tex], членовете на аритметичната прогресия са: [tex] b_1, b_4, b_{16}[/tex] Но [tex] b_1=a_1, b_4=a_3, b_{16}=a_5 \compose{\LARGE O}{\normalsize 1} [/tex] от формулата:[tex] \fbox{b_n=b_1 + (n-1)d} \compose{\LARGE O}{\normalsize 2} [/tex] (d=3 по условие) получаваме, че членовете на аритметичната прогресия са равни на: [tex] b_1=a_1, b_4=a_1 + 9, b_{16}=a_1 + 45 \compose{\LARGE O}{\normalsize 3}[/tex]
От основното свойство на геометричната прогресия: [tex]k+l=m+n[/tex]където това са индексите на членовете на геометричната прогресия то:[tex]a_3.a_3=a_1.a_5 \Leftrightarrow a_3^2=a_1.a_5 \compose{\LARGE O}{\normalsize 4}[/tex] Като заместим (1) и (3) в (4) получаваме: [tex](a_1+9)^2=a_1(a_1+45) \Leftrightarrow 27a_1=81 \Leftrightarrow[/tex] [tex]\red\fbox{a_1=3} \compose{\LARGE O}{\normalsize 5} [/tex] Но [tex]a_4=a_1 + 3d[/tex] тогава като заместим (5) в формулата получаваме, че [tex]a_4= 3+9 \Leftrightarrow a_4=12 [/tex]


Стр. 116, зад. 122. Да се намери стойността на реалния параметър а от системата
[tex]\begin{tabular}{|l}x+y+z=a+4\\2x-y+2z=2a+2\\3x+2y-3z=1-2a \end{tabular}[/tex]
ако се знае, че x, y, z в посочения ред образуват геометрична прогресия.
Решение:
[tex]\begin{tabular}{|l}x+y+z=a+4\\2x-y+2z=2a+2\\3x+2y-3z=1-2a \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x=a+4-y-z\\2(a+4-y-z) -y + 2z=2a+2 \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x=a+4-y-z\\2a+8-2y-2z-y+2z=2a+2 \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}x=a+4-y-z\\-3y=-6 \end{tabular} \Leftrightarrow [/tex] [tex] \red\fbox{y=2} \compose{\LARGE O}{\normalsize 1}[/tex] [tex] \Leftrightarrow x=a+2-z \compose{\LARGE O}{\normalsize 2}[/tex] Тогава заместваме x и y в третото уравнение:
[tex]3(a+2-z) + 2.2 - 3z=1-2a \Leftrightarrow -6z=-9 - 5a \Leftrightarrow [/tex] [tex]\red\fbox{z=\frac{9+5a}{6}} \compose{\LARGE O}{\normalsize 3}[/tex]
Заместваме (3) в (2) и получаваме: [tex]x=a+2 - \frac{9+5a}{6} / .6 \Leftrightarrow 6x=a+3 \Leftrightarrow[/tex] [tex]\red\fbox{x=\frac{a+3}{6}} \compose{\LARGE O}{\normalsize 4}[/tex] След като x, y и z образуват геометрична прогресия следователно: [tex]y^2=x.z \compose{\LARGE O}{\normalsize 5}[/tex] Заместваме (1), (3) и (4) в (5): [tex] 4=(\frac{a+3}{ 6}).(\frac{9+5a}{6}) \Leftrightarrow 4=\frac{9a+5a^2 + 27 + 15a}{36} / .36 \Leftrightarrow 144=5a^2+24a+27 \Leftrightarrow 5a^2+24a - 117=0[/tex] След това намираме корените на квадратното уравнение:
[tex]D=576 + 2340=2916 \Leftrightarrow a_{1,2}=\frac{-24 \pm 54}{10} \Leftrightarrow a_1=3; a_2=-7,8[/tex][/tex][/b]

[Реклама]

[Kerry]

От колко страници се състои сборника на К. Коларов?

[ObsCure]