Oт една японска задача

[r2d2]

Намерете целите положителни стойности на к, за които неравенството:

[tex]5x^2-2kx+1<0[/tex] има за решения точно 7 положителни цели числа.

[Реклама]

[ганка симеонова]

не би ли трябвало [tex] 6<modul(x_{1}-x_{2})<8 [/tex]?

[bobson]

как стана това

[cub]

[tex] /x_{1}-x_{2}/ > 7 [/tex]
[tex] /x_{1}-x_{2}/ < 8 [/tex]
[tex] x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}>49[/tex]
[tex] (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}>49[/tex]
[tex] \frac{4k^{2}}{25 } -\frac{4}{5 }>49[/tex]
[tex] k^{2}> 311\frac{1}{ 4} [/tex]
[tex] k > 0, k > 17 [/tex]
[tex] \frac{4k^{2}}{25 } -\frac{4}{5 }<64[/tex]
[tex] k^{2}<405[/tex]
[tex] k<20[/tex]

отг. 18 и 19

[ганка симеонова]

браво, аз се обърках с дължината на първия интервал, тъй като всеки седем цели числа образуват интервал, с дължина 6

[r2d2]

[ганка симеонова]

r2d2, нмого ме кефиш, казано на езика на учениците ми))) знаеш ли, този сайт, ме прави наистина щастлива, като виждам какъв капацитет има, в младите хора, в България!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[cub]

r2d2, схванах това ми е убягнало

k²>230
и отговорите са 16,17,18 и 19

[ганка симеонова]

относно, второто запитване на r2d2, трябва ли, интервалът, да е с дължина по- малка или равна на 8?

[garion]

[cub]

прав си и стават 5 възможни k

[r2d2]

Ето моето решение:
При к>0 неравенството има за решения само полож. числа.
р>0 е реш. на неравенството за [tex]k>\frac{5p^2+1}{2p}[/tex],
a q - за [tex]k>\frac{5q^2+1}{2q}[/tex]. Понеже за p>q>0 е в сила [tex] \frac{5p^2+1}{2p}>\frac{5q^2+1}{2q}[/tex], разбираме, че ако р е решение при някакво к, решения са и всички пол. числа по-малки от р.

Тогава ако 7 е решение, решения ще са и целите числа 6,5,...1 (7 на брой) и значи 8 не трябва да е решение.

Или[tex] k>\frac{5\cdot 7^2+1}{14}[/tex] и [tex]k \le \frac {5\cdot 8^2+1}{16} [/tex]. Това ако смятам вярно дава k=18,19,20.
Мисля, че е ясно, че вторият въпрос по същество не се отличава от първия.

Подобна задача е дадена на приемен изпит 2008 г. в японски университет за специалностите Право и Икономика. А "мини"-стар Вълчев се гордее, че 35 Вуза ще приемат с резултатите от матурите. Кого заблуждаваме?

[cub]