Задача по Мат. Анализ

[velsaron]

Да се докаже неравенството:

[tex]1+3x \le e^{3x}\ ,[/tex]

за всяко х принадлежащо на R. Ако някой може да ми даде насока ще съм му много благодарен интересува ме как да я започна.
Благодаря предварително.

[Реклама]

[Metodiy]

При х<0 лявата страна е по-малка от дясната. При "х" клонящо към 0: "е"на степен 3х = (1+3х) на степен (1/3х)*3х, което е равно на 1+3х. За х>0 приложи формулата на Маклорен: "е" на степен у =1 +у/1! +у*у/2! + ... + R(остатъчен член), като у=3х. така задачата излиза. Дано това да ти помогне

[Infernum]

За x = 0, в неравенството се достига равенство.
Ако x > 0, може да се приложи теоремата на Лагранж за крайните нараствания към функцията e^t в интервала [0, 3x]. Тогава имаш

[tex]\frac{e^{3x}-e^0}{3x-0}=e^{\xi}\ ,[/tex]

където [tex]\xi \in (0,\ 3x).[/tex]

Тъй като x>0, имаш

[tex]e^\xi>1.[/tex]

Тогава

[tex]\frac{e^{3x}-e^0}{3x-0}=\frac{e^{3x}-1}{3x}=e^{\xi}>1[/tex]

откъдето следва, че неравенството е изпълнено за x > 0.

Аналогично се постъпва при x<0. Прилага се теоремата на Лагранж към функцията e^t, този път в интервала [3x, 0].
Имаш

[tex]\frac{e^{0}-e^{3x}}{0-3x}=e^{\xi}\ ,[/tex]

където [tex]\xi \in (3x,\ 0).[/tex]

Тъй като x<0, имаш

[tex]e^\xi<1.[/tex]

Тогава

[tex]\frac{1-e^{3x}}{-3x}=\frac{e^{3x}-1}{3x}= e^\xi<1\ ,[/tex]

или

[tex]e^{3x}-1>3x[/tex]

откъдето следва, че неравенството е изпълнено и за x < 0.

[Infernum]

Иначе друг възможен подход е въвеждането на функцията

[tex]f(x)=e^{3x}-3x-1[/tex]

и изследването и за монотонност.