Две много лесни задачи за теоремата на Талес

[bogracs]

две много лесни задачи:

1.Страните на равнобедрен триъгълник ABC са AB=a и BC=CA=b. Нека AN и BM са вътршни ъглополовящи през върховете А и В. Намерете дължината на МN.

2.Вътрешната ъглополовяща през върха А в триъгълника АВС пресича страната ВС в точка L. Намерете ъглите на триъгълника, ако АВ=2АС и АL=2CL.

Знам, че сигурно са много лесни, но аз съм зле явно.

[Реклама]

[ганка симеонова]

от свойството на углополовящата следва, че:
[tex] \frac{CN}{NB }=\frac{b}{a}, CN=bx, NB=ax, bx+ax=b, x=\frac{b}{a+b }[/tex]
[tex] CN=\frac{b^{2}}{a+b }[/tex]
[tex] \Delta MNC\approx \Delta ABC [/tex] и тогава ще имаме следната пропорция:
[tex] \frac{MN}{a }=\frac{CM}{b}, MN=\frac{ab}{a+b } [/tex]

[ганка симеонова]

от свойството на ъглополовящата, следва че:
[tex]\frac{CL}{LB }=\frac{AC}{AB }=\frac{1}{2 }, Al=BL [/tex]
тогава означаваме:[tex] AC=x, CL=y, AB=2x, AL=BL=2y [/tex]прилагаме синусова за триъгълник ACL. и въвеждаме означение за [tex]\angle LAB=\angle ABL=\alpha , \angle ALC=2\alpha [/tex]
[tex] \frac{CL}{sin\alpha}=\frac{AC}{sin2\alpha}[/tex]
прилагаме формулата са за синус на удвоен ъгъл и получаваме:
[tex] \frac{y}{sin\alpha }=\frac{x}{2sin\alpha cos\alpha }, \frac{x}{2y }=cos\alpha [/tex]прилагаме цосинусова теорема за основния триъгълник:
[tex]AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB.BC.cos\alpha [/tex]
[tex] x^{2}=4x^{2}+9y^{2}-2.2x.3y.\frac{x}{2y } [/tex]
[tex]x=\sqrt{3}y, cos\alpha =\frac{\sqrt{3} }{2 }, \alpha =30^\circ [/tex]
тогава окончателно:
[tex]\angle A=60^\circ , \angle B=30^\circ , \angle C=90^\circ [/tex]

[bogracs]

Благодаря много!

[bogracs]

Така, наистина съм много благодарен за решенията, но аз синус и косинус не ги разбирам. Би трябвало да има начин, по който да се риши 2ра задача единствено със знания до 9ти клас. Който се сеща, нека да ми подскаже само.

[ганка симеонова]

пк, питагор взел ли си го вече?

[ганка симеонова]

веднага ти давам друг вариант
построй височината LDкъм основата АВ на равнобедрения тр. ABL, която се явява симетрала и тогава AD=x. [tex] \Delta ADL\cong ACL, 1)AL=AL,2) AD=AC, 3)\angle CAL=\angle DAL=\alpha [/tex]. заб. cong значи еднакъв! от там следва, че
[tex]\angle ACL=90^\circ , \angle CAL+\angle ALC=90^\circ , \alpha +2\alpha =90, \alpha =30^\circ [/tex]
виж, тогава, ако имаш проблем, пускай в раздел за 9 клас, за да няма недоразумение)