Доста трудна конкурсна задача

[complex]

Да се докаже, че уравнението 9x³ - 36x² + 45x - 17=0 Има три реални корена, които са дължини на страни на тъпоъгълен триъгълник и да се пресметне лицето на триъгълника.
Ще ви бъда много благодарен ако ми помогнете да я реша.

[Реклама]

[Nona]

[tex]f(x)=9x^3-36x^2+45x-17 \\ f'(x)=27x^2-72+45=9(3x^2-72x+45)=9(x-1)\left(x-\frac53\right ) \\ \bullet x\in (-\infty,1], \ f'(x)>0 \Rightarrow f(x)\nearrow \\ \bullet x\in \left[1,\frac53\right], \ f'(x)<0 \Rightarrow f(x)\searrow \\ \bullet x\in \left[\frac53,\infty\right], \ f'(x)>0 \Rightarrow f(x)\nearrow \\ f(0)<0, f(1)>0, f\left(\frac53\right)<0, \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty[/tex]
Следователно от теоремата на Болцано f(x)=0 има 3 положителни корена. Нека това да са х₁, х₂ и х₃. За да бъдат те страни на тъпоъгълен триъгълник, трябва:
[tex]\cos\lambda =\frac{x_1^2+x_2^2-x_3^2}{x_1.x_2}<0\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-x_3^2<0,[/tex] където λ е ъгълът срещу най-голямата страна в триъгълника.
От формулите на Виет за трета степен имаме:
[tex]\begin{tabular}{|l}x_1+x_2+x_3=4\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=5 \\ x_1x_2x_3=\frac{17}{9} \end{tabular}[/tex]

Повдигаме първото уравнение на квадрат и получаваме: [tex]x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=4-8x_3+x_3^2\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-x_3^2=4-8x_3-2x_1x_2<0,[/tex] защото х₃>1.

Да означим х₁, х₂ и х₃ съответно с a, b и с.
Можем да запишем Хероновата формула във вида:
[tex]S=\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}}{4} \\ a+b+c=4 |\nearrow\ ^2 \\ a^2+b^2+c^2+2(\underbrace{ab+bc+ca}_{5})=16 [/tex]
[tex]\red\fbox{a^2+b^2+c^2=6}[/tex]

[tex]ab+bc+ca=5|\nearrow\ ^2 \\ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=25 \\ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\underbrace{abc}_{\frac{17}{9}}(\underbrace{a+b+c}_{4})=25 \\ \fbox{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 =\frac{89}{9}} \\ a^2+b^2+c^2=6|\nearrow\ ^2 \\ a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=36 [/tex]
[tex]\red \fbox {a^4+b^4+c^4=\frac{146}{9}}[/tex]

След като заместим в Хероновата формула изразите с намерените стойности, получаваме, че [tex]S=\frac{\sqrt{2}}{3}.[/tex]

[r2d2]

Kакто е показала Nona a+b+c=4 или р=2 После може много по-лесно:

S^2=p(p-a)(p-b)(p-c) , но а,b,c са корени на f(x)=0, т.е. f(x)=9(x-a)(x-b)(x-c) и виждаме, че
[tex]S^2=\frac{pf(p)}{9}[/tex]. Oстава да сметнем [tex]f(2)=1 \Rightarrow S^2=\frac{2}{9}[/tex]