Задача 12 клас

[Bully]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с връх Q и обем V.
Точките M и N са средите на ръбовете AQ и DQ. Намерете обема на пирамидата ADMNB

Намерете обема и на тялото ABCDMN

Мерси

[Реклама]

[Nona]

Нека В' да е проекцията на В в (ADQ), а О - проекцията на Q в (ABC). Тогава половината от обема на ABCDQ е [tex] \frac12V=\frac{B'B.S_{ADQ}}{3}\Rightarrow B'B=\frac{3V}{2S_{ADQ}} \\S_{ADMN}=S_{ADM}+S_{DMN}=\frac{1}{2}S_{ADQ}+\frac{1}{4}S_{ADQ}=\frac{3}{4}S_{ADQ} \\ V_{ABMN}=\frac{1}{3}.S_{ADMN}.B'B=\frac13.\frac34S_{ADQ}.\frac{3V}{2S_{ADQ}}=\frac38V \\ V_{ABCDMN}=V-V_{MNQB}-V_{NQCB}=V-\left( \frac V2-V_{ABMN}\right )-\frac14 V=\frac58V[/tex]