Задача от тест в ТУ 2004

[Bully]

Лицата на две стени на триъгълна пирамида са m и n, а общият им ръб има дължина q. Ъгълът между тези две стени е 30°. Oбемът на пирамидата е

[Реклама]

[Nona]

Нека m=S_ACD, n=S_ABC, AC=q, D' - проекцията на D в (ABC). Построяваме [tex]D'H\bot AC[/tex]. От теоремата за трите перпендикуляра следва, че [tex]DH\bot AC[/tex]. Линейният на двустенния ъгъл между равнините (ABC) и (ACD) е [tex]<D'HD=\varphi[/tex] (в случая 30°).

[tex]S_{ACD}=\frac{DH.AC}{2} \Rightarrow DH=\frac{2.S_{ACD}}{AC} \\ \Delta D'HD: \ \frac{D'D}{DH}=\sin \varphi \Rightarrow D'D=DH.\sin\varphi =\frac{2.S_{ACD}.\sin\varphi}{AC} \\ V=\frac13 S_{ABC}.D'D=\frac{2.S_{ABC}.S_{ACD}.\sin\varphi}{3.AC}= \frac{m.n}{3.q}[/tex]