Обем на кълбо

[nandp]

Здравейте, може ли някой да ми реши тази задача?
Около правилна триъгълна пирамида е описана сфера с радиус R, центърът на която съвпада с центъра на кълбо, вписано в пирамидата. Намерете обема на Кълбото.

Отговор: 4/81пR³

[Реклама]

[ганка симеонова]

нека пирамидара е о снова ABC , връх M , точка O-център на сферите и т.D -ортогонална проекция на върха в/у основата. посторяваме височинатаAK в основата и пускаме перпендикуляр OL от т. O към апотемата MK. тогава AO=OM=R(радиус на описаната сфера), OD=OL=r(радиус на вписаното кълбо). триъгълник AOM- равнобедрен, следователно
[tex]\angle AMO=\angle MAO, \Delta AOD[/tex] еднакъв на [tex] \Delta MOL[/tex]следователно [tex]\angle OAD=\angle OML[/tex] и от двете равенства на ъглите следва, че [tex]\angle MAD=\angle AMK [/tex], следователно триъгълник MAK е равнобедрен и KA=KM, но DK=1/3AK=1/3MK. [tex] \Delta OLM[/tex] подобен на [tex]\Delta DKM , OL=\frac{1}{3}.OM , r=\frac{1}{3}.R [/tex]