Триъгълник и височини

[Synaptic]

Имаме остроъгълен триъгълник ABC.
Височини AA₁, BB₁, CC₁.
AA₁ = h_a = 3
BB₁ = h_b
CC₁ = h_c = 2√2
Другото което е дадено е, че
[tex]\frac{BH}{HB1 } = \frac{5}{ 1} [/tex]

Търси се ъгъл ABC и ъгъл BAC..
Моля ви, спешно ми е, а в момента съм затрупан от работа и забравих, че имам и математика домашни... просто нз. как ще се справя.

[Реклама]

[r2d2]

Къде учиш, това е много тежка задача, не е нормално да е за домашно.

[Synaptic]

[maia]

Задачата е от подобни триъгълници, ако съединиш петите на перпендикулярите, получаваш триъгълник подобен на дадения, аналогично и две пети и един връх. Оттам много отношения, виж кои ще ти послужат

[r2d2]

Ето едно начало:

[Synaptic]

Благодаря на maia и специално на r2d2.
И двата съвета доста ми помогнааха..

Ама знаетее лий кво направих - напих се, влезнах в час, дасклката ме изкара на даската да реща задачата и да не повярвате аз я реших .... иам и решението ам сега съм твърде пиян да го напища. А отговор е бета = 45.
Даскалицата рече, че е вярна аз се усмихнах и с леки подпиращи се по стената движения си седнах на мястото и заспахг...

[r2d2]

Като се оправиш, напиши решение!

[Synaptic]

Малко ще го карам без четреж, че ( не ми се смейте ) не мога да чертая.
В смисъл мога, но не е за пред хора.

Та по същество.
=====================
Разглеждаме триъгълник AA₁B. (1)
За него знаем ъгъл ABA₁ = β
И че sinβ =[tex] \frac{3}{c}[/tex] => Страната c =[tex] \frac{3}{ sin B}[/tex]

Разглеждаме триъгълник BC₁C. (2)
a=2√2 / sinβ

След това триъгълник A₁BC₁ ~ AB₁C₁ ~ A₁B₁C ~ ABC с коефициент на подобие м/у A₁BC₁ и ABC = cosB
[tex]\frac{A1C1}{AC} = \frac{A1C1}{b}[/tex] = cosB => A₁C₁ = b.cosB (3)

Окръжността с диаметър BH = 5x съединява точките A₁ и C₁ . Незнам съединява ли е точно най-подходящото, т.е точките лежат в-у нея.

Прилагаме за триъгълник A₁C₁B sin. теорема.
А₁C₁/sinB = 2R = 5x
5x.sinB = A₁C₁ (6)
Лицето на този триъгълник:
S = b.6x / 2 = a.3/2 => a = 2bx (5)

Сега от (1), (2), (3), (4), (5) =>
A₁C₁ = b.cosB
5x.sinB = A₁C₁
a=2bx
(Умножаваме левите и десните страни по между си и получаваме)

b² = 5√2/cosB
Прилагаме cos теорема за триъгълник ABC.

b² = a² + c² - 2.a.c.cosB

Тук се замества с по-горе получението и се получава квадратно уравнение относно cosB което е:

7√2.cos²B - 17.cosB + 5√2 = 0
Решава си се като просто квадратно уравнение, единият корен отпада, че става по голям от едно ( тука не съм мн. сигурен трябва да го помисля на ново) и
остава:
cosB = (17-3)/14√2 = 14/14.√2 = 1/√2 = √2/2 (рационализирано).
=> B = 45 градуса.

Имаме и страните
a= 4
c= 3√2
b= √10



ПС. Страните на триъгълник ABC са а(BC), b(AC) и c(AB). Другото е в условието.
ПС2. Ракията помага, но в комбинация с вино... нямам обяснение на елексира. Ще го нарека елексира на "знанието" ( това в кръга на шегата разбира се ).
ПС3. r2d2 ако имаш друго решение можеш да го споделиш, защото задачата ми се вижда като за олимпиада/изпит/състезание и е хубаво да се знаят и други възможности. :]

[r2d2]

Твоето решение показва, че понякога (винаги?) използането на дори малко геометрия (в случая, че А1С1=АС.cosB) води до много по-прости сметки.
Наистина второто решение на уравнението ти е 5sqrt(2)/7 и е >1.

Ето и втората трета от моето, колкото да покажа, че и така ще стане.

[Synaptic]

Бре тая задача мн. интересна. :]

ПС. r2d2 сложи и последната част от решението ти, че нещо не схващам как ще се продължи натам.

[r2d2]

Eто:

[Synaptic]

Само да се сетиш, че
sinβ = (180 - (λ+γ)) и натам става лесно. :}