3 задачи от Синусова теорема

[bcool]

1. Върху страната АВ и продължението на страната АС на [tex]\Delta[/tex] АВС са взети съответно точки D и E така, че BD=CE. Отсечката DE пресича страната BC в точка M. Да се докаже, че DM:ME=AC:AB.

2. Даден е [tex]\Delta[/tex]ABC, в който [tex]\alpha =3\beta[/tex] . Ъглополовяата на [tex]\angle[/tex] BCA дели лицето на триъгълника в отношение 2:1. Да се намерят ъглите на триъгълника.

3. Даден е [tex]\Delta [/tex] ABC. Върху страните BC и CA външно относно триъгълника са построени съответно квадратите BKPC и ACSL. Да се докаже, че продължението на височината през върха C на [tex]\Delta[/tex] ABC разполовява отсечката PS.

[Реклама]

[ганка симеонова]

по първа задача. ще означим [tex]\angle CME=\angle DMB=\varphi [/tex] и ще използваме, че ъгли, които се допълват до 180 градуса имат равни синуси. тогава
[tex] sin\angle MCE=sin\angle ACB=sin\gamma [/tex]
прилагаме синусова т- ма за триъгълниците CME, DMB
[tex] \frac{CE}{sin\varphi }=\frac{EM}{sin\gamma }, \frac{DB}{sin\varphi }=\frac{DM}{ sin\beta } [/tex], но CE=DB. Тогава [tex] \frac{EM}{sin\gamma }=\frac{DM}{sin\beta }[/tex], следователно [tex] \frac{DM}{ EM}=\frac{sin\beta }{sin\gamma } [/tex]. но от синусова т-ма за триъгълник ABC имаме [tex] \frac{AC}{AB }=\frac{sin\beta }{sin\gamma} [/tex] следователно пропорцията е налице

[ганка симеонова]

по втората: използва се свойството на ъглополовящата, това, че с/у по- голяма страна лежи по- голям ъгъл и това че, когато два триъгълника имат равни височини, отношението на лицата е равно на отношението на страните, към които са спуснати тези височини. нека L е пресечната точка на ъглополовящата със страната AB. Тогава:
[tex] \frac{S_{ACL}}{S_{BCL}}=\frac{AL}{BL}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2 } [/tex]
Прилагаме син. т- ма за тр. ABC.
[tex] \frac{CB}{sin\angle A }=\frac{AC}{sin\angle B } [/tex],
[tex] \frac{sin3\beta }{sin\beta }=\frac{2}{ 1}[/tex] прилагаме ф-та за синус на утроен ъгъл. Тогава:
[tex] \frac{3sin\beta-4sin^{3}\beta }{sin\beta }=\frac{2}{1 } [/tex]
[tex] 3-4sin^{2}\beta =2 , sin^{2}\beta =\frac{1}{4 }[/tex]
това уравнение има два противоположни корена, но синусът на ъгъл в триъгълник е положително число, следователно:
[tex] sin\beta =\frac{1}{2 }, \beta=30^\circ [/tex]или [tex] \beta =150^\circ [/tex]
но бета е по- малкият ъгъл в триъгълника, следователно [tex]\beta =30^\circ , \alpha =90^\circ , \gamma =60^\circ [/tex]