Пирамида, вписана в сфера

[RIdSL]

Една леко гадна задача, поне за мен. Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен триъгълник с хипотенуза с и остър ъгълα. Околните стени сключват с основата ъгълβ. Намерете повърхнината на сферата?

[Реклама]

[ганка симеонова]

всички околни стени склячват равни ъгли с основата, следователно върхът се проектира в центъра на вписаната окръжност. тогава височините в околните стени, спуснати към основните ръбове са равни( радиусите са техни проекции). нека ги означим с к. нека например означим допирната точка на окр. с AB с М, а проекцията на върха с О и самият връх с D. тогава триъгълник MOD е правоъгълен и [tex] \angle OMD=\beta , OM=r, MD=k, r/k=cos\beta [/tex] От прав. тривгълник( основата)ABC изразяваме катетите
[tex] a=csin\alpha , b=ccos\alpha , r=(a+b-c)/2 [/tex] тогава пълната п-на[tex]S_{1}[/tex] ще е равна на ок. п- на S + лицето на основата B.
[tex] S=pk, p=(a+b+c)/2, B=ab/2 [/tex]
АЗ НАМЕРИХ П- ТА НА ПИРАМИДАТА. А СЕГА ВИДЯХ, ЧЕ Е НАПИСАНО СФЕРАТА. МОЖЕ БИ ИМАШ ПРЕДВИД НА ВПИСАНАТА, ЗАЩОТО В ТОЗИ СЛУЧАЙ МОЖЕ ДА СЕ ВПИШЕ СФЕРА. ТОГАВА ИЗПОЛЗВАЙ ЕДНА ИЗВЕСТНА ФОРМУЛА ЗА РАДИУСА НА СФЕРА, ВПИСАНА В МНОГОСТЕН: [tex] R=\frac{3V}{S_{1} } [/tex]., където V е обемът на пирамидата