трудна задача - плс помогнете

[LolliPop_4e]

Ето я и задачата: Четириъгълник ABCD е описан около окръжност. Окръжностите, вписани в триъгълниците ABC и ADC, се допират до страните на четириъгълника в точки M,N,P и Q. Докажете, че четириъгълникът MNPQ е вписан в окръжност.
Има и упътване: Докажете, че окръжностите, вписани в триъгълниците ABC и ADC, се допират. Докажете, че страните на четириъгълника MNPQ са успоредни на страните на четириъгълника с върхове допирните точки на страните на четириъгълника ABCD с вписаната в него окръжност.
Ще съм Ви много благодарна ако ми помогнете

[Реклама]

[DeHuTtY]

В ABCD е вписана окръжност, следователно [tex]AB+CD=AD+BC => |AB-BC|=|AD-CD|[/tex]

[tex]k_1\cap AC={H} => AH=p_{ABC}-BC |.2 [/tex]
[tex]2AH=P_{ABC}-2BC[/tex]
[tex]2AH= AB+BC+AC-2.BC[/tex]
[tex]2AH=AB-BC+AC[/tex]

[tex]k_2\cap AC{L}=> AL=p_{ACD}-CD|.2[/tex]
[tex]2AL=P_{ACD} -2CD[/tex]
[tex]2AL=AD+AC+CD-2CD[/tex]
[tex]2AL=AD-CD+AC[/tex] , но [tex]AB-BC=AD-CD =>2AL=AB-BC+AC => AL=AH => L\equiv H[/tex]

[tex]k_1[/tex] - вписана в ▲[tex]ABC => AM=AL[/tex]
[tex]k_2[/tex] - вписана в ▲[tex]ACD =>AQ=AL[/tex]
[tex]k_3[/tex] - вписана в [tex]ABCD => AV=AX[/tex]
[tex]=> AM=AQ ; AV= AX = > AM:AV = AQ:AX[/tex] => По Теорема на Талес [tex]MQ||XV[/tex]


Аналогично се доказва, че [tex]PN||TS[/tex]

[tex]k_1[/tex] - вписана в ▲[tex]ABC => BM=BN[/tex]
[tex]k_3[/tex] - вписана в [tex]ABCD => BV=BS[/tex]
=>BM:BV=BN:BS => По Теорема на Талес [tex]MN||VS[/tex]

[tex]MQ||XV[/tex]
[tex]PN||TS [/tex]
[tex]MN||VS[/tex]
=>[tex]\angle QMN =\angle XVS ; \angle PNM= \angle TSV => \angle QMN +\angle PNM=\angle XVS +\angle TSV [/tex]


Но XVTS е вписан в окръжност =>[tex]\angle XVS +\angle TSV=180^\circ [/tex]
[tex]=>\angle QMN +\angle PNM=180^\circ[/tex] , а това е достатъчно условие, за да твърдим че MNPQ е вписан в окръжност.

[ObsCure]

Bravisimo,DeHuTty!

[LolliPop_4e]

Много благодаря Златна си