Лице на произволен 4-ъгълник? (зад. от сборника на Коларов)

[EXVITERMINI]

Отсечките, съединяващи двойките срещуположни страни, са p и q. Ъгълът между диагоналите е φ . Търси се лицето.

От q=1/2(a+c) и p=1/2(b+d) мога да изразя страните. Също построявам транслация на фигурата по единия диагонал и се получават няколко успоредника, но не се сещам какво да използвам оттук нататък !?

[Реклама]

[ганка симеонова]

доколкото разбирам, въпреки, че не си го написал, тези отсечки съединяват средите на срещуположните страни. тогава тези четири точки образуват успоредник със страни , съответно половината от диагоналите. (явяват се средни отсечки в триъгълниците ABC, BCD например и ъгълът м/у диагоналите е ъгъл на този успоредник. нека означим така:
[tex] M\in AB, N\in BC, P\in CD, Q\in DA [/tex] означаваме дължините :
[tex] PN=a, MN=b, MP=q, QN=b, \angle QPN=\varphi [/tex]
прилагаме косинусова т- ма за триъгълниците QPN, MNP. togawa:
[tex] p^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\varphi [/tex]
[tex]q^{2}=a^{2}+b^{2}+2abcos\varphi [/tex]
от второто изваждаме първото у- ние:
[tex] q^{2}-p^{2}=4abcos\varphi , ab=\frac{q^{2}-p^{2}}{ 4cos\varphi }[/tex]
но казахме, че диагоналите на четириъгълника са два пъти по- големи от страните на успоредника. тогава лицето му ще е равно на:
[tex] \frac{1}{2}AC.BD. sin\varphi =\frac{1}{2}2a.2b.sin\varphi =2absin\varphi [/tex]остава да заместим и получаваме [tex] \frac{1}{2}.(q^{2}-p^{2}).tg\varphi [/tex]