Окръжност на Ойлер

[athlantic]

Ако обичате решете тази задача

Произволен триъгълник АBC.А1,B1,C1 са среди на страните му.L1,L2,L3 са среди на отсечките които съединяват ортоцентъра с върховете на А1,B1,C1.H1,H2,H3 са височини.Да се докаже,че А1,B1,C1 L1,L2,L3 H1,H2,H3 лежат на една окръжност.

мерси предварително

[Реклама]

[g_kulekov]

Спомените ми са, че геометричното решение е доста сложно. Може би и затова досега никой не е предложил някакво упътване. Имаш ли право да използваш аналитична геометрия? Чез нея доказателството като логика е просто, само че трябва да се пише много. Ако имаш правото да ползваш координати на точки и уравнение на окръжност, ще ти дам насока.

[Pinetop Smith]

В почти всеки сборник можеш да намериш доказателство, което обаче почва със станалото ми вече неприятно изречение "Ще разгледаме случая АВС да е остроъгълен"...

Нека <В > 90, ортоцентъра да е Н, средата на АН да е Е1, на ВН - Е2, на СН - Е3, а височините да са АН1, ВН2 и СН3. Ако <Н1НЕ2 = а и <Е2НН3 = б, то <Н1Е2Н3 = 2а + 2б и <НАН3 = 90 - а - б. АНН3Н2 е вписан (<АН2Н = <АН3Н = 90), откъдето <НН2Н3 = 90 - а - б. АН1ВН2 също е вписан (<АН1В + <АН2В = 90 + 90 = 180), откъдето <Н1Н2В = 90 - а - б и тогава <Н1Е2Н3 + <Н1Н2Н3 = 180, т.е. Е2Н1Н3 е вписан, аналогично Е1 и Е3 лежат на описаната около Н1Н2Н3 окръжност.

По-нататък, ако <АН2С1 = а и <АН1С1 = б, то <Н1С1Н2 = 2а + 2б и <АНВ = 90 - а - б, но Н1НН3В е вписан и <Н1Н3В = 90 - а - б. АНН3Н2 също е вписан и <АН3Н2 = 90 - а - б и значи С1Н1Н3Н2 е вписан, аналогично и за другите две среди.

Подобно е и доказателството за остроъгълен триъгълник.