Тангенсче...

[Spider Iovkov]

Това е задача, давана на олимпиада през 2005 година.
В триъгълника АВС ъглополовящата, медианата и височината, прекарани съответно през върховете А, В и С, се пресичат в една точка. Да се докаже, че ъглите А, В и С удовлетворяват зависимостта:
[tex]tgA=\frac{sinC}{cosB}[/tex].
Моето доказателство е много обширно, затова пускам задачата, за да видя дали има нещо по-кратко.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Стандартни означения за триъгълник [tex]ABC[/tex]. [tex]AL, BM & CH [/tex]са съответно ъглополовящата, медианата и височината, дадени в условието.
Теорема на Чева :
[tex]\frac{AH}{HB}.\frac{BL}{LC}.\frac{CM}{MA} = 1 = \frac{AH}{HB}.\frac{BL}{LC} \Rightarrow AH = \frac{HB.LC}{BL} ;[/tex]
Синусова теорема:
[tex]\frac{LC}{sin{\frac{\alpha }{2}}} = \frac{AL}{sin\gamma }\Rightarrow AL sin {\frac{\alpha }{2}} = LC sin \gamma ; [/tex]
[tex]\frac{BL}{sin {\frac{\alpha}{2}}} = \frac{AL}{sin{\beta }} \Rightarrow AL sin {\frac{\alpha }{2}} = BL sin \beta \Rightarrow LC sin \gamma = BL sin \beta \Rightarrow \frac{BL}{LC} = \frac{sin \gamma }{sin \beta } ; [/tex]
[tex]\tan \alpha = \frac{CH}{AH} = \frac{CH}{HB}.\frac{BL}{LC} = \tan \beta\, \frac{sin \gamma }{sin \beta } = \frac{sin \gamma }{cos \beta }[/tex] , с което задачата е решена.

[ins-]

И аз да не пропусна да кажа нещо ... това е задача от НОМ: 1966-3-5, носела е 9 точки.
Задачата може да се реши и без теоремата на Чева, но е малко по-трудно да бъде направено.
Вярно е и обратното твърдение.
Ето и една задача, която може да бъде решена - с или без обратното твърдение.
Задачата е давана през 1994 и 1998 на II кръг. На мен ми се падна и успях да
я реша в състезателна обстановка (използвах обратното твърдение).

Даден е триъгълник ABC, за който AB=15, BC=13, AC=12. Да се докаже, че ъглополовящата през A, медианата през B и височината през C се пресичат в една точка.

[Spider Iovkov]

Тук роля играе именно теоремата на Чева. Иначе задачата е давана на общински кръг на олимпиада.