СУ 10 задача

[bobson]

В СУ май стана обичай 10тата задача да е свързана с квадратни функций, някой може ли да предложи подобни задачки.

Мерси предварително.

[Реклама]

[r2d2]

Eто 4 зад., с които нямам нищо общо!

[cub]

а-b+c=0 => b=a+c (3)
ax²+bx+c ≤ (1+x²)/ 2
(2a-1)x²+2bx+2c-1 ≤ 0 => 2a-1 <0 и D ≤ 0
=> (a-c)²+2b-1 ≤ 0 (1)

аналогично разсъждаваме за x ≤ ax²+bx+c
=> a>0, (a-c)²+1-2b ≤ 0 (2)

От (1) и(2) => а-c=0, 1-2b=2b-1=0, b=1/2, a=c
1/2=2a=2c (от (3))
а=c=1/4

f(-1)=0
f = λ(x-x₁)(x-x₂)
c/a = 1 = x₁ . x₂
x₂=-1

уравнението е 1/4(x+1)²
проверка:
x ≤ 1/4(x+1)²
(x-1)² ≥ 0 за всяко x
1/4(x+1)² ≤ (1+x²)/2
-x²+2x-1 ≤ 0
(x-1)² ≥ 0 за всяко x

[ганка симеонова]

Тук ще предложа една задача, която днес видях, като предложена 10 задача, в сп.Математика, 1бр., но ми се струва доста лесна за 10 задача.
Да се реши уравнението:
[tex]log_{3}^{2}(x-2) + (x-5)log_{3}(x-2)=6-x [/tex]

[Relinquishmentor]

[tex] \log_{3}^{2}(x-2) + (x-5)\log_{3}(x-2)=6-x[/tex]

Естествено е да положим [tex]\log_{3}(x-2) = y \Rightarrow x = 3^y + 2[/tex]

[tex]y^2 + (3^y -3)y = 6 - 3^y - 2[/tex]

[tex]y^2 + (3^y -3)y + (3^y -3) -1 = 0[/tex]

Полагаме [tex](3^y -3) = t[/tex]

[tex]y^2 + yt + (t-1) = 0[/tex]

[tex]y_{1,2} = \frac{-t \pm \sqrt{t^2 - 4t + 4} }{2} = \frac{-t \mp t-2}{2}[/tex]

[tex]y_1 = \frac{-t - t + 2}{2} =1-t = 1- (3^y - 3) = 4 - 3^y[/tex]

[tex]y_2 = \frac{-t + t - 2}{2} = -1[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\log_{3}(x_1-2) = 4 - 3^{\log_{3}(x_1-2)} = 4 - x_1 + 2 = 6 - x_1[/tex]
И получаваме чисто трансцедентното уравнение [tex]\log_{3}(x_1-2) = 6 - x_1[/tex]

[tex]\log_{3}(x_2-2) = -1 \Rightarrow x_2 = \frac{7}{3}[/tex]

[bobson]

Много ми е интересно как се прави последната за корените на уравнението ax² - 4bx + 4c = 0 .... направих я донякъде но нататък въобще не излиза.

Как се прави?

Мерси предварително.

[bobson]

Ето още една според мен добра задачка, не че има нещо общо с квадратна функция, но все пак

Иска се да се намерят стойностите на а, за които уравнението има единствено решение.

2^-x2 4^x + sin(∏x/4) + cox(∏x/4) - 2 = a³ - 3a² + a +√2

[ганка симеонова]

здравей! дори и да е транцедентно, у- то може да се реши с помощта на функции. ще използваме, че ако две ф- ии са манотонни, едната монотонно растяща, а другата монотонно намаляваща, то те имат най- много една обща точка. от у- то, прилагайки дефиницията за логаритъм получаваме:
[tex] 3^{6-x}= x-2 [/tex] нека [tex] f(x)=3^{6-x} [/tex], а
[tex] g(x)=x-2 [/tex]
веднага се установява, че двете ф-ции имат обща точка и тя е x=5, защото тогава и двете приемат стойност 3 и това ще е решение и на лог. у- е. ще докажем, че то е единствено. степенният показател на първата ф- я е намаляваща ф- я, основата 3 е на растяща ф- я и тогава f(x) е намаляваща. производната на втората е 1 и значи втората е растяща. тогава , според това, което написах в началото двете имат единствена обща точка х=5

[Relinquishmentor]

[ганка симеонова]

в момента не коментираме учебника по анализ, а кандидатстудентска задача, която е измислена, да се реши една част- алгебрично,м а другата- с функционален метод,..

[ганка симеонова]

Да се докаже, че за всяка стойност на реалния параметър а, уравнението
[tex] x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}x+6a^{3}=0 [/tex]
има единствено решение.

[cub]

[tex] x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}+6a^{3}=0 [/tex]
[tex] a=0, x^{3}=0 [/tex]
[tex] \frac{x^{3}}{a^{3}} +\frac{3x^{2}}{a^{2}} -\frac{9x}{a} +6=0 [/tex]
(a<>0)
[tex] y^{3}+3y^{2}-9y+6=0 [/tex]
[tex] f(y')=3y^{2}+6y-9, x\in (-\infty ,-3)[/tex] расте,[tex] x\in (-3,1)[/tex] намалява, [tex] x\in (1,+\infty ) [/tex] расте
[tex] f(-3)=33, f(1)=1 => f=0 [/tex]
графиката на функцията минава точно веднъж през 0, откъдето имаме едно реш:
[tex]y=\frac{x}{a} [/tex]
възможно ли е такова доказателство?

[ганка симеонова]

абсолютно вярно ,

[bobson]

Много ще се зарадвам, ако някой даде решения за първите задачи на r2d2

[soldier_vl]

[ганка симеонова]

естествено, че написах глупост, затова я промених. това са си стойностите на ф- та

[cub]

[tex] \frac{c}{a} = x_{1} x_{2} > 0, \frac{c}{a} <> 1 [/tex]
корените са с еднакъв знак и са в интервал по-малък от едно
[tex] c>0, c<>a [/tex]
[tex] a>0, D_{1}=b^{2}-4ac, c>0, a<>c => b^{2}- 8 > 0, b>8, b\ge 9 [/tex]
[tex] x=\frac{b}{2a}+/- \frac{\sqrt{D}}{2a} [/tex]
[tex] \frac{\sqrt{D}}{2a}<1 => 4a^{2}+4ac-b^{2}>0 [/tex]
[tex] D=\frac{-4c +/- 4\sqrt{c^{2}+b^{2}}}{2} [/tex]
a<0 не ни интересува, а>0
[tex] a> -2c + 2\sqrt{c^{2}+b^{2}} [/tex], ако c=1, то [tex] a>-2+2.3[/tex]
[tex] ( \sqrt{c^{2}+b^{2}} > 9 ), a>4 => a\ge 5 [/tex]
това за сега

edit: [tex] \frac{c}{a } > n^2 => c\ge 5n+1 [/tex]

[r2d2]

[bobson]

Имаме f(x) = ах² - 4bx + 4c = 0 с корени x₁, x₂ между 2 и 3

Понеже
x₁ + x₂ = [tex] 4\frac{b}{a } [/tex] >0 и х₁ * x₂ = [tex] 4\frac{c}{a } [/tex] >0 от формули на Виет и от f(0) = 4c ≥ 0 => a, b, c са положителни

x₁ ≥ 2 и x₂ ≥ 2 =>
x₁ + x₂ ≥ 4 или [tex] 4\frac{b}{a } [/tex] ≥ 4 => b ≥ a

f(2) = 4(a - 2b + c) ≥ 0 => b - c ≤ a - b ≤ 0 => b ≤ c
с това сме доказали, че a ≤ b ≤ c

[cub]

и аз това и още малко

4c/a ≤ 9 = max(x1 . x2)

(4c - 9a)/а ≤ 0, а>0
4c ≤ 9a
c < 2a, но b ≥ a => c < a+b

сега почвам да я мисля втората част...

[ганка симеонова]

браво cub, втората е лесна, браво, че си измисл трудната...

[cub]

[tex] \frac{a}{a+c }+\frac{b}{b+a }>\frac{c}{c+b } ?[/tex]
edit:
4b ≤ 6a => a ≥ 2/3b
4c ≤ 9a => a ≥ 4/9c
c ≤ 3/2b
b ≤ 3/2a
[tex] min \frac{a}{a+c }= \frac{a }{ \frac{9a}{4} +a}=\frac{4}{13 } [/tex]
[tex] min \frac{b}{b+a } =\frac{\frac{3a}{ 2} }{\frac{3a}{2 }+a}= \frac{3}{5 } [/tex]
[tex] max \frac{c}{b+c} = \frac{\frac{3b}{ 2} }{\frac{3b}{ 2}+b }=\frac{3}{5 } [/tex]

latex ми отнема повече време, отколкото да я измисля тая задача

bobson, тук го оправих, че беше голяма каша

[bobson]

според мен min [tex]\frac{a}{a+c } = \frac{4}{13 } [/tex]
min [tex]\frac{b}{b+a } = \frac{3}{5 } [/tex] и после нищо не излиза

[cub]

ми защото съм зле, условието ми надолу в задачата е преписано грешно....
сега ще го оправя

[bobson]

така вече си излиза идеално... браво cub

ма имам и още един въпрос
как от 4c ≤ 9a => c < 2a още в първата част на задачата

[cub]

"4c ≤ 9a
c < 2a, но b ≥ a => c < a+b"

c ≤ 3/2b
c ≤ b + 1/2b, но b ≤ 3/2a
c ≤ b + 3/4a
c < b + a

[cub]

ako f(x)=/ax²+bx+c/ ≤ 1,
dali g(x)=/cx²+bx+a/ ≤ 1

f(0)=/c/ ≤ 1
f(-1)=/a-b+c/=g(-1) ≤ 1
f(1) =/a+b+c/=g(1) ≤ 1
(a+c)²-2b(a+c)+c² ≤ 1
(a+c)²+2b(a+c)+c² ≤ 1
2(a+c)²+2c² ≤ 2
2c²+2ac+a²-1 ≤ 0
D=4a²-4a²+4=4
-B/A= -2a/2 = -a
/-a/ ≤ /2c/ ≤ 2
g(0)=/a/ ≤ 2
C/A ≤ 1, /a/ ≤ √3

това, ако има нещо вярно сигурно е 1/3 от решението. Надявам се някой да я реши тази, само тя остана

[bobson]

f(x) = ax² + bx + c
g(x) = cx² + bx + a

f(0) = c => -1≤c≤1
f(1) = g(1) = a+b+c => -1≤ a+b+c ≤1
f(-1) = g(-1) = a+b+c => -1≤ a-b+c ≤1

Ако 0≤c≤1 -b/2a ≤ -1 или -b/2a ≥ 1
условието е изпълнено понеже в интервала [-1; 1] g(x) е монотонна => g(x) изпълнява условието на задачата

при -1≤ -b/2a ≤1 трябва да докажем, че -2≤fmin(x)≤2
fmin(x) = f(-b/2a) = [tex] \frac{4ac - b*b}{4c } [/tex]

стигаме до извода че трябва да бъде изпълнено:
b² - 4ac + 8 ≥ 0
b² - 4ac - 8 ≤ 0

(1) -1 ≤ a + b + c ≤ 1
(2) -1 ≤ a - b + c ≤ 1
=> -1 ≤ c ≤ 1
-2 ≤ a ≤ 2
-4 ≤ b ≤ 4

и от тук се вижда че горните неравества са изпълнени
в другия случай за с - става аналогично
става ли така

[bobson]

f(x) = ax² + bx + c
g(x) = cx² + bx + a

f(0) = c => -1≤c≤1
f(1) = g(1) = a+b+c => -1≤ a+b+c ≤1
f(-1) = g(-1) = a+b+c => -1≤ a-b+c ≤1

Ако 0≤c≤1 -b/2a ≤ -1 или -b/2a ≥ 1
условието е изпълнено понеже в интервала [-1; 1] g(x) е монотонна => g(x) изпълнява условието на задачата

при -1≤ -b/2a ≤1 трябва да докажем, че -2≤fmin(x)≤2
fmin(x) = f(-b/2a) = [tex] \frac{4ac - b*b}{4c } [/tex]

стигаме до извода че трябва да бъде изпълнено:
b² - 4ac + 8 ≥ 0
b² - 4ac - 8 ≤ 0

(1) -1 ≤ a + b + c ≤ 1
(2) -1 ≤ a - b + c ≤ 1
=> -1 ≤ c ≤ 1
-2 ≤ a ≤ 2
-4 ≤ b ≤ 4

и от тук се вижда че горните неравества са изпълнени
в другия случай за с - става аналогично
става ли така

[bobson]

само не знам втората как да я направим