Показателно уравнение

[devonish]

sqrt(2+sqrt3)^x + sqrt(2-sqrt3)^x = 2^x (не знам дали е написано правилно,

защото нямах време да науча LaTeX, но следващият път ще се постарая)



Ако някой може да ми помогне с решението ще съм искрено благодарен!

[Реклама]

[mimeto_we]

Използвай, че [tex](\sqrt{2+\sqrt{3} })^x * (\sqrt{2-\sqrt{3} })^x =1[/tex]
и от там изрази [tex](\sqrt{2+\sqrt{3} })^x=\frac{1}{(\sqrt{2-\sqrt{3} })^x } [/tex]
и след полагане [tex](\sqrt{2+\sqrt{3} })^x=a[/tex] и [tex](\sqrt{2-\sqrt{3} })^x=\frac{1}{a} [/tex] задачата придобива вариант : [tex]a+\frac{1}{a }=4 [/tex] Мисля си, че е 4, защото съм решавала такава задача, обаче и с 2^х пак можеш да пробваш. И така- имаш корени 2[tex]\pm \sqrt{3} [/tex] и заместваш в положеното Надявам се да съм помогнала, успех

[devonish]

Да, знам това и аз съм решавал премного такива, но ме притеснява това 2^x накрая и там ми е проблема...

[devonish]

Някой няма ли да се включи и да помогне със решението?

[r2d2]

Това уравнение се решава както [tex]3^x+4^x=5^x[/tex]. Mожеш ли да го решиш?

[ганка симеонова]

аз ще помогна. ще ползваме, факта, че при основа по- малка от 1 показателната ф-я е намаляваща. ще разделим двете страни на у- то на дясната страна и ще вмъкнем под корен. получава се:
[tex] (\sqrt{\frac{2+\sqrt{3} }{ 4} }) ^{x}+ (\sqrt{\frac{2-\sqrt{3} }{ 4} }) ^{x}=1 [/tex] очевидно х=2 е решение на задачата. ще докажем, че е единствено. функциите в лявата страна са с основи по- малки от 1, следователно са намаляващи. тогава, за всяко [tex] x>2,[/tex] [tex] (\sqrt{\frac{2+\sqrt{3} }{ 4} }) ^{x}<\frac{2+\sqrt{3} }{ 4} [/tex]
и [tex] (\sqrt{\frac{2-\sqrt{3} }{ 4} }) ^{x}<\frac{2-\sqrt{3} }{ 4} [/tex]
тогава лявата страна ще е по- малка от 1 и равенство няма да има. аналогично, когато х<2 пак няма равенство.

[devonish]

r2d2: Знам как се решават от този тип, но в конкретния случай ми е трудничко
ганка симеонова : Разбирам за x>2, но за x<2 ...

[devonish]

...

[ганка симеонова]

когато една намаляваща ф-я например за х=2 приема да речем стойност 1, значи за всяко х<2 стойността и е >1 и за всяко х>2, стойността и е <1

[borku]

РЕЗИЛ!

[ганка симеонова]

не мисля, че произведението е 1..а, когато човек решава показателни и логаричтмични уравнения и неравенства, трябва първо да е научил свойствата на показателната и логаритмичните функции

[borku]

Какво е това свойство?! В кой клас се изучава?!

[ганка симеонова]

зависи в каква паралелка учиш. това е материал от вторто равнище. при нас се изучава в 10 клас в ЗИП

[borku]

А не може ли да се реши с графика ?! Като видим, че х=2 е решение на задачата, да построим графика при [tex] y_{1}=sqrt{2+_\sqrt{3}}^x + sqrt{2-_\sqrt{3}}^x [/tex] , a [tex] y_{2} = 2^{x} [/tex]

И да се види, че то е единствено решение!?

НЕ ЧЕТЕТЕ ЗА ДА НЕ СЕ ОБЪРКАТЕ!

[ганка симеонова]

не мисля, че ще построиш лесно графиката на първата функция

[borku]

Понаписах глупости, помислих, разгледах няколкот задачи и усмислих решението. Но естествено възникнаха други въпроси:

[ганка симеонова]

делиш двете страни на дясната почленно. получаваш
[tex] (\frac{3}{5 })^{x}+(\frac{4}{5 })^{x}=1[/tex]
вижда се, че х=2 е решение на задачата , но сега двете пок. функции са намаляващи и при
[tex] x<2, (\frac{3}{5 })^{x}+(\frac{4}{5 })^{x}>\frac{9}{ 25}+\frac{16}{25 }=1 [/tex]
значи при х<2 лявата страна е по- голяма от 1 и няма равенство. аналогично се доказва, че при х>2, лявата страна е по- малка от 1 и пак няма равенство...

[borku]

Ето един метод по удачен от графиката... Благодаря!

[ганка симеонова]

защо толкова, се страхуваш от тези графики? графиката просто "визуализира" свойствата на дадена функция...

[Пафнутий]

[ганка симеонова]

не може, защото последната теорема на ферма гласи, че уравнението :
[tex] a^{n}+b^{n}=c^{n}[/tex] няма решение в цели числа, при n>2, а основите не са цели числа

[Пафнутий]

Голям резил

[ганка симеонова]

въобще не е резил! човек цял живот учи по нещо