Геометрични задачи

[MasterHimself]

Моля помогнете със следните задачи:

1) В равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) точка D лежи на страната AB и радиусът на описаната около триъгълник ADC окръжност е 6 cm. Колко е радиусът на окръжността, описана около триъгълник BDC?

2) Даден е равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) с ъгъл ACB = 100°. Точка M е вътрешна за триъгълник ABC, като ъгъл MAB = 30° и ъгъл MBA - 20°. Колко е мярката на ъгъл ACM?

3) В равнобедрен триъгълник ъгълът между бедрата е 120°, а радиусът на вписаната окръжност е 1 cm. Колко е дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност ?

[Реклама]

[ганка симеонова]

радиусът също е 6 см нека:
[tex] \angle ADC=\alpha [/tex] тогава
[tex]\angle BDC=180^\circ -\alpha [/tex]
[tex] sin\angle BDC=sin(180^\circ -\alpha )=sin\alpha [/tex]
от син. т-ма за [tex] \Delta ADC R_{ADC}=\frac{AC}{ 2sin\alpha } [/tex]
от син. т-ма за [tex] \Delta BDC R_{BDC}=\frac{BC}{ 2sin\alpha } [/tex]

[Hellfire]

Много добро решение, имате ли идеи за другите две че и на мен ми стана интересно как се решават?

[ганка симеонова]

Ок, да си поиграем маслко с тригонометрия, в триъгълника. За целта, ще означим
[tex] \angle ACM=x [/tex]. Тогава от сим. т-ма за триъгълниците AMC, AMB ще следва:
[tex] \frac{AM}{ sinx}=\frac{AC}{ sin(10^\circ +x)} [/tex]
[tex] \frac{AM}{sin20^\circ } =\frac{AB}{sin50^\circ} [/tex]
Изразяваме от двете равенства АМ . приравняваме и получаваме:
[tex] \frac{ACsinx}{sin(10^\circ +x) }=\frac{ABsin20^\circ }{sin50^\circ } [/tex]
Прилагаме син. т- ма и за тр. ABC
[tex] \frac{AC}{AB }=\frac{sin40^\circ }{sin100^\circ }=[/tex]

[tex]\frac{cos50^\circ }{ 2sin50^\circ cos50^\circ }=\frac{1}{ 2sin50^\circ } [/tex]
Тогава [tex] \frac{sin(10^\circ +x)}{ sinx}=\frac{ACsin50^\circ }{ABsin20^\circ} [/tex]
[tex]\frac{sin(10^\circ +x)}{ sinx}=\frac{sin50^\circ }{sin20^\circ }.\frac{1}{ 2sin50^\circ}=\frac{1}{ 2sin20^\circ }=\frac{sin30^\circ }{sin20^\circ } [/tex]
Решавайки полученото триг. у- ние получаваме, че [tex] x=20^\circ [/tex]

[Pinetop Smith]

За 2 зад:

Нека точката Т е в 1 и съща полуравнина с С спрямо АВ и АВТ е равностранен. <СВТ = 20, щом СА = СВ, то С лежи на ъглополовящата на <АТВ => <СТВ = 30 и щом АВ = ВТ, то АМВ и ТСВ са еднакви, ВМ = ВС и <АСМ = 20.