Ектремална задача (ПАК)

[r2d2]

Даден е правоъгълен триъг. с катети АС=b, BC=a. На катетите са взети точки М,N. Спуснати са перп. към хипотенузата ММ1, NN1. Намерете минималната дължина на ММ1+NN1+MN.

[Реклама]

[cub]

След построението, се търси мин обиколка на MTQN, където зациклих. CN и CM, NB и BQ участват в изразяването на MN и NQ и те трябва да са минимални, откъдето трябва CN=NB=CM=MA, с това предположение min S=√(a²+b²)
интересно ми е какво е решението

[r2d2]

Прощавай, но не разбирам построението. Би ли обяснил?

[cub]

ако CK е медиана, можем ли да направим ротация спрямо т.K , така че т.B отива в т.A, т.C отива в т.C1, т..A - в т.B

[garion]

[Methuselah]

Двете "шарени" точки на хипотенузата не трябва да са точки на съвпадане в общия случай. Т.е. АМ1 е различно от ВN1

[Methuselah]

Аз я реших ама ми е много претрупан чертежа и след малко ще го бацна и тука

Височината в правоъгълен триъгълник е ≤ от медианата.
Построяваме височината към хипотенузата CH. Ще докажем, че ММ1+NN1+MN≥2CH .
Като идея:
1) Намираме отсечката HP върху височината CH с дължина (ММ1+NN1)/2 (1) (предполагам на всичи е ясно как се прави).
2) Намираме средата на MN=Q
3) От правоъгълността на нашия триъгълник имаме CQ=MN/2
4) Доказваме почти очевидното твърдение, че PQ || AB и виждаме че CQ=MN/2≥CP (2)
(1) + (2) => (MM1+NN1+MN)/2 ≥ HP+CP=CH което трябваше да докажем...

П.П. писна ми да не се изразявам като човек.

[Methuselah]

Идеята е:
(MM1+NN1)/2=HP
MN/2=CQ≥CP
MM1+NN1+MN≥2CH

[cub]

браво

сега виждам как това "CN=NB=CM=MA.... min S=√(a²+b²)" от първия ми пост е по-скоро некоректно, защото се получава S=a√2 (което си е мин стойност за равнобедрен триъг.), a има два параметъра в условието

[cub]

след като има отг., ето друга идея: S=MN+MM1+NN1
Ясно е, че мин стойност на 3те отсечки се достига когато MM1_|_MN_|_NN1 (ako C е симентична спрямо AB, се получава четириъгълник, чието P=2S, a P е мин. при правоъгълник). Така ▲МNC~▲ABC. Нека MC=x и NC=y
[tex]\frac{MM_{1}}{b-x}=sin\alpha [/tex]
[tex] MM_{1}=\frac{(b-x)a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex]
[tex] NN_{1}=\frac{(a-y)b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}} [/tex]
[tex] \frac{MN}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{x}{b}=\frac{y}{a}[/tex]
[tex] S=\frac{(b-x)a+(a-y)b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} +MN [/tex]
[tex] =\frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} - 2\frac{abMN}{a^{2}+b^{2}}+MN [/tex]
[tex] = A -2\frac{CH.MN}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} +MN[/tex]
[tex] CH\le \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}=m_{c} [/tex]
понеже имаме "-" за мax CH => min S
[tex] S(min)=A=\frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex]

[r2d2]

Meth, добро решение!

Ето друго.
Построяваме симетричната на М1 отн. АС - Х и сим. на N1 отн. BC - Y. Ясно е, че начупената линия XMNY има дължина, равна на М1МNN1 и че тази дължина е минимална, когато XMNY е права линия (т.е. cub твоето твърдение, не само че не е ясно, ами е грешно).
Дължината на тази права линия е колкото височината в ромба АBB1A1 или 2CH.

[cub]

схванах, благодаря
моите грешни решения доказават, че един кандидат-студент е способен на всичко за отговор
ще се осмеля да питам тъп въпрос, ако на някой му се занимава да ми отговори: в частния случай, когато а=b, като заместим във 2CH, се получава а√2, нали?

[Methuselah]

Дам, тогава е достатъчно просто MN да е успоредна на АВ.
r2d2, толкова търсих решение, което да ползва, че най-краткия път от една точка до друга е правата, ама не се сетих за това.. :/

[r2d2]

ще има още!