Уравнение с параметър

[rookie]

Добър вечер на всички !
Имам проблем при решаването на параметрично уравнение и моля за някаква насока .
Ето го условието :
[tex]sin^{4 }x + cos^{4 }x =b.sin2x + \frac{b}{2 }[/tex] където b е реален параметър и b>0.
Да се намери множеството от стойностите на b за всяка от който уравнението има решение.
Намерете решенията на уравнението за най-малката стойност на b.
Аз се опитвам да го реша по следния начин :
преработвам уравнението до вида
[tex]1 - 2sin^{2 }x*cos^{2 }x=bsin2x+ \frac{b}{2 } [/tex]
премахвам знаменателя
[tex]2 -4sin^{2 }*cos^{2 }=2bsin2x + b[/tex]
използвам формулата за удвоен ъгъл и се получава
[tex]2 - sin^{2 }2x=2bsin2x +b[/tex]
полагам sin2x = u , [tex]u\in [-1,1][/tex]
[tex]2 -u^{2 }=2bu +b[/tex]
[tex]-u^{2 } -2bu +2 -b = 0 * (-1) [/tex]
[tex]u^{2 } + 2bu +b -2 =0 [/tex]
И сега мисля че за да има решение D>0 =>
[tex]b^{2 } -b +2 >0 [/tex]
се чудя какво да направя....
[tex]-1\le \sqrt{b^{2 } -b +2}\le 1 [/tex]
!?
Благодаря предварително на отзовалите се

[Реклама]

[soldier_vl]

u²+2bu+b-2=0 Ако до тук ти е вярно, защото не съм го проверявал, за да довършиш задачата трябва да използваш условията за разположение на корените. Т.е. това което ти си написал за дескриминантата не е достатъно.
Имаш 2 случая:
1ви поне един корените да ти е в интервала [-1;1] <=> f(-1).f(1)≤0
2ри и двата корена да са ти в интервала [-1;1]
<=> f(-1)≥0, f(1)≥0, D≥0 и -1<[tex]\frac{-b}{2a}[/tex]<1 , където [tex]\frac{-b}{2a}[/tex] ти е върха на параболата
успех

[r2d2]

Може като квадратна ф-я, може и с изследване на ф-я, ако си го учил.

[tex]2 -u^{2 }=2bu +b=b(2u+1)[/tex]. u=-1/2 не е решение за нито едно b. Иначе
[tex]b=\frac {2-u^2}{2u+1} \; u \in [-1;1].[/tex] Тази функция (пресметни производната й) е намаляваща в дадения интервал. Най-малката и полож. стоиност е в u=1 и е b(1)=1/3.

И така у-нието има реш. за [tex]b \ge \frac {1}{3} [/tex] (както и за [tex]b \le -1[/tex], но по уловие b>0)

[rookie]

Благодаря много за методите на решаване !