Един интересен факт

[luboslav_p]

Докато решавах една задача стигнах да докажа следния факт: да се намерят всички естествени числа n такива, че ако S_i=∑(n над j) 0<j<n,j ≡i(mod 3), то S₁=S₂=S₃. извинявам се за начина ,по който сам го написал n над j е биномния коефициент.

[Реклама]

[luboslav_p]

Силно преполагам че може да се намери обобщение не за 3, а за m, но не сам се занимавал. Ще е хубаво ако се намери някакво комбинаторно решение. На мен ми е известно с алгебра.

[luboslav_p]

естествено имал сам предвид j≡i(mod 3), а не mod n

[Baronov]

Нека w е примитивен трети корен на единицата. Тогава
[tex] (1+w)^n = 1 + w^{n-1} + \sum_{i=1}^{n-1 } \binom{n}{i}w^{i}=1+w^{n} + S_{3} + wS_{2} + w^{2}S_{1}=1+w^{n}[/tex]. Тук сме използвали факта, че w е корен на уравнението x²+x+1=0, както и условието за равенство на S₁, S₂ и S₃. Тоест получихме, че n е такова число тогава и само тогава, когато (1+w)ⁿ=1 + wⁿ. Сега тук като се вземе предвид, че w²+w+1=0, получаваме, че (1+w)ⁿ= (-w^2)ⁿ и сега като разгледаме всички остатъци на n при деление на 6 ще видим колко трябва да е остатъка за да е решение. Това е лесна работа.
Надявам се че това не е било решението с алгебри, което си знаел. Успех на IMO.

Онова там с \binom е биномния коефициент, как се пишат тези неща тук??

[luboslav_p]

Мерси.