Тригонометрично уравнение

[complex]

Бихте ли ми помогнали да разбера това тригонометрично уравнение:
[tex]\sqrt{(1-tg^2\frac{x}{2})(cotg^2\frac{x}{2}-1)}=4cosx[/tex] <=> [tex]\sqrt{\frac{4(cos^2\frac{x}{2} - sin^2\frac{x}{2})^2}{4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}} }=4cosx[/tex]
<=>[tex]\sqrt{\frac{4cos^2x}{sin^2x}}=4cosx [/tex] <=> [tex]\frac{cos^2x}{sin^2x}=4cos^2x, cosx\ge0. [/tex]
Не трябва ли да продължим да го разлагаме? Решенията на това уравнение са: cosx=0 и sin²x=1/4. Как го установихме това?

[Реклама]

[ганка симеонова]

прехвърляш дясната при лявата страна, привеждаш под общ знаменател и и знасяш cos^2x пред скоби. получаваш
cos^2x(1- 4sin^2x)=0
cos^2x(1-2sinx)(1+2sinx)=0 приравняваш всеки мноьител на 0 и получаваш три основни уравнения:
cosx=0, sinx=1/2, sinx=-1/2

[complex]

Благодаря ти. Аз веднага след като пуснах темата се сетих, че може също и ето това решение:
[tex]\frac{cos^2x}{sin^2x}=4cos^2x [/tex] <=> [tex]sin^2x=\frac{cos^2x}{4cos^2x} [/tex] <=> [tex]sin^2x=\frac{1}{4 }[/tex]
Имам обаче въпрос: Защо не са решение [tex]x=\pi \pm \frac{\pi }{6} +2k\pi [/tex]? А са решения само: [tex]x=\frac{\pi }{2} + k\pi [/tex] и [tex]x=\pm \frac{\pi }{6 } + 2m\pi [/tex]

[ганка симеонова]

едно и също е дали броя на завъртанията ще е даден с k или с m.

[complex]

Да това ми е ясно, но защо [tex]x=\pi \pm \frac{\pi }{6} +2k\pi [/tex] не влизат в решенията?

[ганка симеонова]

защото все пак освен тригонометрично, у- то е и ирационално и се иска дясната страна да е неотрицателна, а при тези стойности тя става отрицатвлна

[ганка симеонова]

cosx>=0. а при тези стойности, cosx става отрицателен, защото ъглите са във втори и трети квадрант на единичната окръжност

[complex]

Стана ми ясно, благодаря ти. Бихте ли ми помогнали и с това уравнение:
[tex]sin3x + cos(x-\frac{\pi }{6}) = 2 [/tex]

[ганка симеонова]

sin3x= cos(90-3x) тогава:
cos(90-3x)+cos(x-30)=2
2cos((90-3x+x-30)/2). cos((90-3x-x+30)/2)=2
cos(30-x). cos(60-2x)=1
прилагаме ф- та за удвоен ъгъл за cos(60-2x) и получаваме:
cos(30-x). (2cos^2(30-x)-1)=1
полагаме cos(30-x)= u, -1<=u<=1 и получаваме кубично у- ние:
2u^3-u-1=0. което по хорнер има единствено решение u=1

тогава cos(x-30)=1, x-30=360k, x=30 +360k или в радиани x= n/6+ 2kn

[r2d2]

[tex]\sin3x + \cos(x-\frac{\pi }{6}) = 2 [/tex]
И двете събираеми са <=1, за да има равенство и двете трябва да са едновремено равни на 1. Имаме системата
[tex]\sin 3x =1[/tex]
[tex]\cos(x-\frac{\pi }{6}) = 1 [/tex], която решаваме.

Предходното решение е вярно, но не ми допада защото не работи за зад. от типа
[tex]\sin 13x + \cos 7x = 2[/tex], която по същество е същата. (не ме карайте да я решавам )

[complex]

r2d2 много ти благодаря, винаги когато пусна тема ти даваш доста добри идеи за решаване на определена задача.