Геометрия

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Дължините [tex]|AB|, |BC|, |CA|[/tex] на страните на [tex]\ \triangle ABC[/tex] са нечетни естествени числа. Да се докаже, че числата [tex]h_{a}, h_{b}, h_{c}[/tex] са ирационални.

[Реклама]

[luboslav_p]

Нека a,b,c са страните на тиъгълника и да допуснем, че някоя височина е рационално число. Оттук веднага ще следва, че лицето на триъгълникът е рационално. От формулата на Херон имаме, че S=sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/16) ще е рационално, но 16=4² и значи (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=t² и t ще е естествено. Това е еквивалентно на 2a²b²+2a²c²+2b²c² -a⁴-b⁴-c⁴=t². Лявата част е сравнима с 3 по модул 8, защото a,b,c са нечетни, а лявата с 0 или 1-противоречие.

[Мирослав Стоенчев]

Задача 2. За всеки [tex]n[/tex] точки в равнината, разстоянията между всеки две от които са цели числа, означаваме с [tex]t(n)[/tex] броя на разстоянията, които са прости числа. Да се намери [tex]\max t(4).[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

E1. Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност [tex]w(O)[/tex] четириъгълник, като [tex]|AB|\ne |CD|,[/tex] [tex]|BC|\ne |DA|, [/tex][tex]AC\cap BD=P.[/tex] Нека [tex]M, N, X, Y, K, S, T[/tex] са такива, че:

[tex]i)[/tex] [tex]M,N[/tex] са от вътрешността на [tex]ABCD,[/tex] като [tex]\angle MAB=\angle MCD,\angle MBC=\angle MDA, \angle NAD=\angle NCB, \angle NBA=\angle NDC[/tex]

[tex]ii)[/tex] [tex]X,Y[/tex] външни за [tex]ABCD,[/tex] като [tex]\angle XAD+\angle XCB=\angle XBA+\angle XDC=\angle YBC+\angle YDA=\angle YAB+\angle YCD=180^\circ[/tex]

[tex]iii)[/tex] [tex]K=MN\cap XY, [/tex]a [tex]KS,\ KT[/tex] са допирателните към [tex]w(O)[/tex]

Да се докаже, че:

а) [tex]\angle OXP=\angle OYP,\ \angle OMP=\angle ONP[/tex]

b) [tex]P\in ST[/tex]