показателна функция, задача

[Infernum]

Докажете, че за да лежат стойностите на функцията a^z (a E C, a ≠ 0) върху един и същ лъч, минаващ през точката
z = 0, е необходимо и достатъчно Re z [tex]\in [/tex] Z, a за да лежат тези стойности върху краен брой такива лъчи, е необходимо и достатъчно Re z [tex]\in [/tex] Q. Намерете НДУ всички стойности да лежат върху окръжността |z| = r.

[Реклама]

[d/dx]

Функцията [tex]a^z[/tex] е безкрайнозначна, така че на едно z отговаря цяла редица от комплексни числа. Нека z е фиксирано комплексно число и [tex]z_k[/tex] са съответните стойности на функцията [tex]a^z[/tex].

Имаме, че [tex]z_k=exp{x\ln|a|-y(\text{arg} a+2k\pi)} exp{i[y\ln|a|+x(\text{arg} a+2k\pi)]}[/tex], където [tex]x=\text{Re}z[/tex], [tex]y=\text{Im}z[/tex], [tex]\text{arg} a\in[0,2\pi)[/tex].

Нека тези стойности лежат върху лъч през началото, сключващ ъгъл [tex]\varph_0\in[0,2\pi)[/tex] с правата Im z=0. Тогава за всяко [tex]k[/tex], съществува [tex]l_k\in\mathbb{Z}[/tex], така че [tex]y\ln|a|+x\text{arg} a+2k\pi x=\varphi_0+2l_k\pi,[/tex] т.е. [tex]l_k=kx[/tex] и х е цяло.

Обратно, ако х е цяло то
[tex]z_k=exp{x\ln|a|-y(\text{arg} a+2k\pi)} exp{i(y\ln|a|+x\text{arg} a)}[/tex]
и очевидно тези стойности лежат на една полуправа през началото.

Толкова по първата част. Останалите друг път.