Задачка за ортоцентър.

[marto_mn]

Точката H е ортоцентър на остроъгълния триъгълник АВС, а точката D е средата на страната АС. Права през Н, перпендикулярна на HD, пресича страните АВ и ВС на триъгълника съответно в точки Е и F. Да се докаже, че EH=HF.
Надявам се задачката да Ви хареса.

[Реклама]

[ins-]

добра е!
Значи биха могли да се разгледат 3 случая за AB и BC (AB>BC, BC>AB и AB=BC).
На мен ми се върти в главата тригонометрично решение, но ме мързи да го разпиша...
Има и чисто геометрично решение.
Ако има и друго - ще ми е интересно да го видя.
От къде е задачата?

[r2d2]

Аз не мога да я реша и бих помолил за решение.

[marto_mn]

Задачата е от подготовка за малка балканиада от 2007 година. От всички геометрични задачи тази беше най-трудна и досега още не ми е известно решение
Пуснах я във форума, за да видя дали все пак някой има идеи как се решава?

[ins-]

Ето няколко:
1.
Это задача с Петербурских отборов - 1995. Авторское решение.
Пусть L - основание высоты, опущенной из А. Тогда AHM=90-AHE=90-LHF=LFH=BFH. Кроме того, HAM=FBH=90-C. Значит, AHM подобен BFH. Аналогично доказываем, что CHM подобен ВЕН. Значит, EH/FH=EH/BH*BH/FH=HM/CM*AM/HM=AM/CM=1.
2. (Тук M е средата на AB).
Let O=circuncenter of ABC and let C1 a point on its circumcircle such that C, O and C1 are collinear. Its well-know that C1, M and H are collinears too. Now, we can see C1HEA and C1HFB are cyclics, then i just need to prove C1E=C1F.
Doing an easy angles translation we can observe that. (Using that C1AHB is paralelogram)
Това е още 1.
Аз бих я решил с тригонометрия, но като цяло съм много мързелив и оставям това на вас.
Марто ... ти си мъж - не се оставяй някаква си задача да те плаши.

[r2d2]

Понеже задачата е много хубава, а може би не всеки се оправя с езици и без картинка и понеже нямам какво да правя, ето свободен превод (тъпотиите са мои!)

1. руското решение:
<АHD =< HFB като ъгли с взаимноперп. рамене.

<HBC=<HAC=90-<C или ▲AHD ≈▲BFH; аналогично ▲CHD ≈▲BEH.

Тогава [tex]\frac {EH}{HF}=\frac{EH}{HB} \cdot \frac {HB}{HF}[/tex], но [tex]\frac{EH}{HB}=\frac {HD}{DC}[/tex], a [tex]\frac{HB}{HF}=\frac {AD}{HD}[/tex] или [tex]\frac {EH}{HF}=\frac {HD}{DC} \cdot \frac {AD}{HD}=1[/tex]

[ганка симеонова]

r2d2, както винагим решението е безупречно! поздравления..

[r2d2]

2. Aнгл. решение:

Постр. диаметъра ВВ1. <В1АВ=90, т.е. В1А||СН, анал. В1C || AH. AB1CH - успор. и значи средата на АС е среда и на НВ1. Достатъчно е да док., че ЕВ1=FB1.

<B1AE=B1HE=90 => около АВ1НЕ може да се опише окр. => <В1ЕН=В1АН, и по същия начин от B1CFH - вписан => B1FH=B1CH.

Но <B1AH = <B1CH (успоредник) => <Е = <F.

[ins-]

Решенията са описани много добре, искате ли жокери за тригонометрията ?

[r2d2]

Tрудно ми е да продължа, но все пак..

Едно момче пуска накаква задача. Вярно, не казва, то ли я измислило (Марто, дай Боже! да имислиш поне 100) или не.

Друг, пуска същата задача в поне два форума, без да цитира марто (ами ако е автор!) , без решение (за което - понеже не е за първи път, в руския му обръщат внимание) и без позоваване на нашия форум. Това ако беха румънци...(впрочем в румънския сайт не съм гледал).

Нека бъдем по-цивилизовани! Ако можем!

Иначе благодарности, днес научих нещо ново.

[ins-]

r2d2, пич си, но не се прави на по-свят от папата!
Например, мога да ти кажа, че хора, които претендират за оригиналност пиратстват масово.
Един пример: НОМ 2003 година, III кръг, задача 1. Ако отворим: "Ръководство и задачи по математика" на издателство: "Fumi Press" с автори С. Копрински и А.Топалов на страница: 234 и погледнем задача 293 виждаме, че единствената разлика е, че в сборника задачата е с букви, а на олимпиадата - с числа.
Няма да ти казвам колко теореми са давани като задачи или подточки, както и колко задачи са взети от Московската олимпиада и от олимпиадите на много други страни, а също и колко от задачите са били предлагани за IMO и не са били одобрени...
Също така - не виждам защо Марто трябва да каже дали е измислил задачата?
А и над 60-70 % от задачите във форумите не е казано откъде са.
Представи си само, ако руснаците кажат "защо ни взимате от задачите" какво ще стане?
Единици са хората, които измислят нещо наистина свое, а и лично на мен ми се е случвало да преоткрия много задачи и теореми, така, че темата с оригиналността и позоваванията наистина е много интересна.
Такива упреци можеш да отправяш, когато отидеш на пл. "Славейков" и не можеш да си купиш диск с Windows или нещо подобно от там. А форума уважавам и ако искате да се популяризира - просто кажете по нормален начин.