интересен въпрос за сума

[Infernum]

Формулата за сумата на кубовете на първите n естествени числа е:
1³+2³+...+n³=[n(n+1)/2]²
Тя се доказва с принципа за пълната математическа индукция.
Как според вас e установена тази зависимост???
Или същият въпрос за зависимостта:
1+...+n=sqrt(1³+2³+...+n³)
???

[Реклама]

[Lubo]

Здравейте на всички!

Имам само малко време за този хубав форум и за една от поредните 'загадъчно' хубави задачи предлагани от Infernum.

Как точно е била установена тази зависимост - не знам, но ми беше много интересно да си 'поблъскам главата' с нея!

Докато 'рисувах картинката' някой друг вече може и да е 'post'-нал(а) по-оригинално решение, но както и да е. По-долу е моят вариант.

Тази задача беше много интересна за мен защото никога досега не бях забелязал тази наистина красива връзка:

(1 + 2 + 3+ ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3

Вероятно може да се измисли и някакъв много по-красив 3-D геометричен модел за тази задача, но за съжаление сега нямам повече време.

Сега - моят вариант:



Любо

[Lubo]

Ъъх... печатна грешка:

Точка (6), третата формула, 'k' трябва да е 'вътре' в средните скоби "[]" разбира се, а не отвън:

k[2(1 + 2 + 3 + k-1) + k] =

Любо

[Infernum]

Както винаги, Любо предлага поредното си оригинално решение на една интересна задача. Това геометрино решение, според мен е най-нестандартното, което съм срещал. За такова геометрично решение, честно казано, никога не бих се сетил. Много ми допадна.

[Infernum]

А ето истината за извеждането на формулата 1³ +...+ n³ = [n(n+1)/2]²:
Разглежда се числовата редица:
f_n = 1³ +...+ n³
означава се първата крайна разлика D¹f_n=f_n+1 - f_n с g_n т.е.
g_n = f_n+1 - f_n = D¹f_n
Смята се тази крайна разлика:
g_n = 1³ +...+ n³ + (n+1)³ - (1³ +...+ n³) = (n+1)³
=>g_n = (n+1)³
Вижда се, че g_n е полином от трета степен. Това означава, че четвъртата* крайна разлика D⁴g_n на g_n е равна на нула, тъй като всяка поредна крайна разлика на числова редица, имаща структурата на полином, намалява степента на полинома с единица (това се доказва непосредствено, опитайте!!)
*заб. втора крайна разлика на числова редица g_n, се дефинира като първа крайна разлика на първата крайна разлика на числовата редица.
T.e. D²g_n=D¹(D¹g_n)
......
n-та крайна разлика на числова редица, се дефинира като първа крайна разлика на n-1 -вата крайна разлика на числовата редица.
Dⁿg_n=D¹(D^n-1g_n)
И така получихме D⁴g_n=0
Това е едно линейно хомогенно диференчно уравнение от четвърти ред, за числовата редица g_n.
Ако си спомним обаче, че g_n = D¹f_n
се получава:

D⁴(D¹f_n) = D⁵f_n

Но D⁴g_n=0 =>

D⁵f_n=0

е диференчното уравнение, на което числовата редица f_n се явява частно решение.
Определя се общото решение на това уравнение:
Като се използва оператора за транслация, който се дефинира по следния начин:
(*) Е^kf_n-1=f_n-1+k
и дефиницията за първа крайна разлика
D¹f_n=f_n - f_n-1
замества се в (*) f_n=D¹f_n + f_n-1
Тогава се получава:
Еf_n-1 = D¹f_n + f_n-1 <=> (Е-1)f_n-1 = D¹f_n (**)
Откъдето като се замести (**) в D⁵f_n=0, се получава: (Е-1)⁵f_n-1=0
Така се свежда диференчното уравнение до рекурентно.
Характеристичното на това уравнение е:
(t-1)⁵=0
Значи общото му решение има структурата:

f_n=1ⁿ*(c₀ + c₁n + c₂n² + c₃n³ + c₄n⁴)

Където c_i, i=1..4 са неизвестни константи, които се определят от условията:

f_i = 1³+...+i³=1ⁱ*(c₀+c₁i+c₂i²+c₃i³+c₄i⁴)
i=1,2,3,4

Получава се линейна система по отношение на тези константи, която има единствено решение. Оставям системата на читателите.
Намерените константи се заместват в общото решение, при което
се получава:
1³+...+n³=1ⁱ*(c₀+c₁i+c₂i²+c₃i³+c₄i⁴)=след приведение=[n(n+1)/2]²
Аналогично се намират сумите от вида:
1^k+...+n^k
Ще отбележа, че има и дуги способи за пресмятането на тези суми, на които сега обаче няма да се спирам. Само ако има интерес.

[Infernum]

Да ме извините.
Малка корекция в дефинициите

Крайна разлика от първи ред:
Написал съм на едно място:
D¹f_n=f_n-f_n-1
Да се чете
(*) D¹f_n-1=f_n-f_n-1
което е същото, като
D¹f_n=f_n+1-f_n
тогава
Е¹f_n-1=Ef_n-1=D¹f_n-1+f_n-1
<=>(E-1)f_n-1=D¹f_n-1,
a не
(E-1)f_n-1=D¹f_n
както съм написал заради грешката в (*)

[Infernum]

[Infernum]

Иначе формулата 1+...+n=n(n+1)/2
Освен чрез рекурентно уравнение, може да се получи като
n-та сума на аритметична прогресия с първи член а₁=1
и разлика d=1
Ta: a₁+...+a_n=[a₁+(n-1)d/2]n=n/2(2+n-1)=n(n+1)/2

[Lubo]

Сумата 1 + 2 + 3 + ... + n,

като анимиран (доста популярен) геометричен модел, използуващ площ на правоъгълник




И неговият много по-плавен (като анимация) Geometer's Sketchpad вариант.

http://math123.net/bg/sum123.gsp

Любо

[Kaloyan_Krastev]

По принцип съшествува общ метод за решаване на подобен вид задачи.
Той е свързан с вапроса ( теорията ) на рекурсивните редици.
Heka Sn =1^3 +2^3+ ....................n^3 е сумата от кубожете на

първите n естествени числа .

Имаме Sn+1= Sn+(n+1)^3 или Sn+1 - Sn = (n+1)^3. (1)

Характеристичното уравнение за рекурсивната редица има вида :

x -1 =0 >> x=1 т.е. Sn= C1. ( 1 ) ^n + M(n) , където C1 е

константа а М(n) e едно частно решение на (1).
Поради тожа , че редицата (1) е нехомогенна т.е. члена отдясно е различен от нула то М(n)=n(a.n^3 + b.n^2 + c.n +d )

M(n+1) = (n+1)(a.(n+1)^3 + b.(n+1)^2 + c.(n+1 ) + d )
След заместване и опростяване получаваме
Sn=[n(n+1)/2]^2

[Relinquishmentor]

С интерес разглеждам старите позабравени теми и понякога си позволявам да ги ексхумирам . По въпроса за сумата на кубовете на естествените числа може да разсъждаваме като за сума от произволна степен. Нека най-напред намерим сумата от квадратите на естествените числа и после, чрез неs ще намерим и сумата на кубовете. За тази цел правим следното:

[tex](1+1)^3 = 1^3+3.1^2.1+3.1.1^2+1^3[/tex]
[tex](2+1)^3 = 2^3+3.2^2.1+3.2.1^2+1^3[/tex]
[tex].........................................................[/tex]
[tex](n+1)^3=n^3+3.n^2.1+3.n.1^2+1^3[/tex]


Събираме всички уравнения:

[tex]2^3 + 3^3 +...+(n+1)^3 = 1^3 + 2^3 +...+n^3 + 3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+1+1+...+1[/tex]

[tex](n+1)^3 = 1+3\sum_{\nu=1}^{n}\nu^2 + 3\frac{n(n+1)}{2} + n[/tex]

[tex]3\sum_{\nu=1}^{n}\nu^2 = (n+1)^3 - 3\frac{n(n+1)}{2} - (n+1)[/tex]

[tex]3\sum_{\nu=1}^{n}\nu^2 = (n+1)((n+1)^2 - \frac{3n}{2} - 1)[/tex]

[tex]3\sum_{\nu=1}^{n}\nu^2 = \frac{1}{2}(n+1)(2n^2+4n+2-3n-2) = \frac{1}{2}(n+1)(2n^2+n)[/tex]

[tex]\sum_{\nu=1}^{n}\nu^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Сега, като използваме тази формула и приложим почти същите разсъждения, ще намерим и за трета степен:

[tex](1+1)^4 = 1^4+4.1^3.1+6.1^2.1^2+4.1.1^3+1^4[/tex]
[tex](2+1)^4 = 2^4+4.2^3.1+6.2^2.1^2+4.2.1^3+1^4[/tex]
[tex]........................................................................... +[/tex]
[tex](n+1)^4 = n^4+4.n^3.1+6.n^2.1^2+4.n.1^3+1^4[/tex]

[tex]2^4+3^4+...+(n+1)^4=1^4+2^4+...+n^4+4\sum_{\nu=1}^{n}\nu^3 + 6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+...+n)+1+1+...+1[/tex]

[tex](n+1)^4 = 1+ 4\sum_{\nu=1}^{n}\nu^3 +n(n+1)(2n+1) +2n(n+1)+n[/tex]

[tex]4\sum_{\nu=1}^{n}\nu^3 = (n+1)^4 - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - (n+1)[/tex]

[tex]4\sum_{\nu=1}^{n}\nu^3 = (n+1)((n+1)^3-n(2n+1)-2n-1) = (n+1)((n+1)^3-n(2n+1)-(2n+1)) = [/tex]
[tex](n+1)((n+1)^3 - (n+1)(2n+1)) = (n+1)((n+1)(n^2+2n+1-2n-1)) = n^2(n+1)^2[/tex]

[tex]\sum_{\nu=1}^{n}\nu^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2[/tex]

и т.н.