Коренуване

[complex]

Искам да ви помоля да ми помогнете да реша една задача с коренуване:
Пресметнете числото:
[tex]A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} [/tex] . Може би трябва да го изразим като формула A²-B². Аз се пробвах да разкрия скобите, но нищо не се получава.

[Реклама]

[Tony_89]

[tex]A = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2} } + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2} } = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^{3}} + \sqrt[3]{(2 - \sqrt{2})^{3}} = 2 + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 4[/tex]

[DeHuTtY]

Израза под корена [tex]20\pm 14\sqrt{2}[/tex] може да се представи чрез формулата [tex](a\pm b)^{3}[/tex]

[tex]20+14\sqrt{2}=2^{3}+3.2^{2}.\sqrt{2}+3.2.\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{3}=(2+\sqrt{2})^{3}[/tex]
[tex]20-14\sqrt{2}=2^{3}-3.2^{2}.\sqrt{2}+3.2.\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{3}=(2-\sqrt{2})^{3}[/tex]

И за израза се получава

[tex]\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^{3}}=2+\sqrt{2} + 2-\sqrt{2}=4[/tex]

[Relinquishmentor]

[tex]A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex]
[tex]A^3= 40 + 6A[/tex]
[tex]A^3 - 6A - 40 = 0[/tex]
[tex](A-4)(A^2 + 4A + 10) = 0[/tex]
[tex]A = 4[/tex]

[complex]

Благодаря ви много за помощта. И аз си мислих, че трябва да стане по формулата (А+Б)³ но неможех да измисля, кои ще са числата. Сега ще пробвам и другите подобни на тази задача.

[Relinquishmentor]

[DeHuTtY]

Relinquishmentor, аз не можах много да разбера как се получи 2рият ред от решението ти

complex, колкото до "познаването" на числата, най-лесно става като обърнеш внимание на числото под 2рия корен. Ако то е просто, както в случая, то едното число от формулата ти (в случая [tex](a \pm b)^{3}[/tex]) е [tex]\sqrt{2}[/tex] или нещо по[tex] \sqrt{2}[/tex] [tex](k\sqrt{2})[/tex] . След това вече става по-лесно, но ако числата са много големи, този начин е крайно неудобен.

[complex]

Ще ми помогнете ли и за тази задача:
[tex]\sqrt[4]{97-x} + \sqrt[4]{x}=5 [/tex] Ясно е, че двата корена са равни съответно на 2 и на 3, но как да стигнем до този факт или трябва да докажем, че те са единствените решения.

[soldier_vl]

Ето ти едно решение, но не знам дали ще ти хареса
нека [tex]\sqrt[4]{x}=t[/tex] => [tex]x=t^4[/tex]
Уравнението добива вида: [tex] t+\sqrt[4]{97-t^4}=5[/tex]
[tex]\sqrt[4]{97-t^4}=5-t/^4[/tex]
[tex]t^4-10t^3+75t^2-50t+264=0[/tex]
Използваш Хорнер за да го разложиш с корените, които си открил до сега т.е. t=2 и t=3 и ти остава едно квадратно уравнение, което сигурно няма реални корени, но ако има корени проверяшав дали са решение(или ако работиш с ДС дали принадлежат на ДС) и си решил задачата
P.S. сега се сетих тази задача е доста известна аз всъщност съм я решавал няколко пъти и ако не се лъжа може би няма друго решение освен показаното по горе

[complex]

soldier_vl благодаря ти за решението, мъчих я по други начини, ама нищо не се получава. Ето още няколко задачи, които се затруднявам да реша.
1). [tex]\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x-2} = \sqrt[6]{a^2 - x^2}[/tex] ;
2). [tex]\sqrt[4]{a-x} +\sqrt[4]{b-x} = \sqrt[4]{a+b-2x}[/tex]

[soldier_vl]

На втората трябва да положиш [tex]\sqrt[4]{a-x}=p[/tex] и [tex]\sqrt[4]{b-x}=q[/tex] след преобразуванията се стига до следното уравнение:
[tex]2pq(p+q)^2=0[/tex] <=> p=0 или q=0 или p=-q

[complex]

А били ми казал какви са тези преобразования, че нещо не се сещам. Мерси

[cub]

[tex] \sqrt[4]{a-x}=p => p^{4}=a-x[/tex]
[tex] \sqrt[4]{b-x}=q=> q^{4}=b-x[/tex]
[tex] p+q=\sqrt[4]{p^{4}+q^{4}}[/tex]
[tex] p^{2}+2pq+q^{2}=\sqrt{ p^{4}+q^{4}}[/tex]
[tex] (p^{2}+q^{2})^{2}+2.2pq(p^{2}+q^{2})+4p^{2}q^{2}=\sqrt{ p^{4}+q^{4}}[/tex]
[tex] p^{4}+q^{4}+2p^{2}q^{2}+4p^{2}q^{2}+4pq(p^{2}+q^{2})=p^{4}+q^{4}[/tex]
[tex] 6p^{2}q^{2}+4(p^{3}+pq^{3})=0[/tex]
[tex] pq(3pq+2p^{2}+2q^{2})=0[/tex]
p=0 или q=0
p и q според мен не могат да бъдат отрицателни