11клас

[soldier_vl]

Ето една задача за 11клас, която измислих:
Да се докаже неравенството:
[tex]\frac{a^2+b+1}{a(b+1)}+\frac{c^2+d^2}{cd}+b>4[/tex]
Където a,b,c и d са реални положителни числа

[Реклама]

[Who_cares123456]

[tex]\frac{a^2+b+1}{a(b+1)}+b=\frac{a}{b+1}+\frac{1}{a}+(b+1)-1\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{b+1}.\frac{1}{a}.(b+1)}-1=2 [/tex]
[tex]\frac{c^2+d^2}{cd}\ge \frac{2cd}{cd}=2[/tex]

[soldier_vl]

Ето и един по лесен [tex]\frac{a^2+b+1}{a(b+1)}+b+\frac{c^2+d^2}{cd}=\frac{1}{a}+b+1+\frac{a}{b+1}+\frac{c}{ d}+\frac{d}{c} > 5 \sqrt[5]{\frac{1}{a}(b+1) \frac{a}{b+1} \frac{c}{d} \frac{d}{c}}=5[/tex]

И все пак неравенството е строго, т.е. доказателството на BG Yoda е непълно

[Who_cares123456]

не е баш така
тъй като [tex]\frac{a}{b+1}+\frac{1}{a} +(b+1)=\sqrt[3]{\frac{a}{b+1}\frac{1}{a}(b+1)} [/tex] при [tex]\frac{a}{b+1}=\frac{1}{a}=b+1[/tex] <=> a=1 и b=0 . Което не е възможно за положителни числа. Но ако в условеито беше казано неотрицатлени , равенство щеше да е възможно.