Всякакви задачи давани на олимпиади

[ArChAnGeL]

Ей тука маля ви пуснете по някоя задача от олимпада за осми клас.

[Реклама]

[ins-]

Ето ти три здрави задачи, давани са на олимпиада, когато аз бях 8-ми клас (общински кръг)... 1995

1. Дадено е, че [tex]a, b, c, d[/tex] са реални числа, такива, че:
[tex]a^{2}+b^{2}=1[/tex]
[tex]c^{2}+d^{2}=1[/tex]
[tex]ac+bd=0[/tex]
Да се намери стойността на израза:
[tex]ad-bc[/tex]
2. В триъгълника ABC AN е медианата през върха A, а BM е ъглополовящата през върха B.
С P е означена пресечната точка на AN и BM. Ако AN[tex]\bot [/tex]BM да се определи в
какво отношение P дели BM.
3. Да се докаже, че стойността на израза: [tex]n^{2}+8n+1[/tex], където [tex]n[/tex] е
произволно естествено число не се дели на 100.

P.S. Ще се радвам и ако някой друг пусне още задачи...

[JusTok]

1. Умножаваме 1-вото и 2-рото и се получава
(ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)²=1
третото вдигаме на квадрат
(ac)²+(bd)²+2abcd=0
=>(ac)²+(bd)²=-2abcd
заместваме (ad)² + (bc)² -2abcd=1
(ad-bc)²=1
ad-bc=±1
3.
n²+8n+1≡0(mod 100)
n²+8n≡99(mod 100)
n(n+8 )=99(100)
нека n≡k(100)
=>n+8≡k+8(100)
=>k(k+8 )=99
k²+8k-99=0
D=64+396=460
което не е точен квадрат =>k не е ест => n не е ест.
2. подсказка ако D e среда на MB докажете че ADNM успоредник

[ins-]

Задача 3 - допуска множество решения. Поне 3. Може да се реши с отделяне на точен квадрат, например.
Задача 2 - може да се реши с еднакви триъгълници и средна отсечка - отг. 3:1.
Задача 1 - може да се реши и по начини, излизащи извън програмата за 8 клас - напр.
тригонометрия или вектори. Може и директно да се замести в "Тъждество на Лагранж".

Надявам се да са Ви харесали. Понякога съставям примерни теми, някои може да се
окажат и по-добри от тази ... а натам мога да пусна и ситуацията за 9 клас.
Имам и още 13-14 теми, реално давани в 8-клас на общински кръг, но тази ме кефи
най-много.

Пускайте и Вие, нали затова е форум.

[Pinetop Smith]

ins, има ли векторно решение на 2 зад? Би ли пуснал и други теми?

За 3 зад, алтернативно решение: Нека m е естествено число, за което

[tex]n^2 + 8n + 1 = 100m[/tex]
[tex]n^2 + 8n + 1 - 100m = 0[/tex]
[tex]D = 64 - 4(1-100m)[/tex] , което трябва да е точен квадрат.
Нека
[tex]15 + 100m = p^2[/tex]
[tex]5(3 + 20m) = p^2[/tex]
Оттук [tex]5|p^2 => 25|p^2[/tex] , но 5 не дели 3 + 20m.

След малко(в момента ги сканирам) ще дам още няколко(за съжаление не са особено актуални(1997-1998), защото дробните уравнения, вече изтеглени в 9 клас, имат силно присъствие).

Edit:
http://img405.imageshack.us/my.php?image=temifx8.png
http://img85.imageshack.us/my.php?image=temi2hc9.png

[ins-]

Още 1 тема - на нея се е явявала сестра ми... за съжаление е прекалено елементарна. Ти имаш много интересна книга - откъде си я намерил и как се казва?

8-ми клас - 1998

1. Да се решат уравненията:
а) ||2x-3|-5|=a
b) |3ax+2|=1-a
(a-реален параметър)
2. Даден е равнобедрен трапец ABCD (AB||CD), в който диагоналите се пресичат в т. О
и AC=AB+CD.
a) Да се намери ъгъл AOD.
б) Да се докаже, че средите на отсечките BC, CD, AD са върхове на равностранен триъгълник.
3. Всяка точка от равнината е оцветена в бяло, синьо, червено и жълто. Предполагаме, че при това оцветяване има поне по една точка от всеки цвят. Да се докаже, че съществува права, върху която има поне три различно оцветени точки.

[ins-]

Тук прилагам някои по-стари теми:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=187651
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=187652
Като ученик с подобни теми съм се готвил за контролни работи.
Използвам случая да благодаря на хората, които са издали
сборника с тези задачи!

От задачите може да се види упадъка в българското образование
по математика. Някои от темите включват материал изучаван в 9, а
вероятно и в 10 клас на съвременното образование.

А за задача 2 от моята първа тема - не съм добър с векторите и никога
не съм ги използвал реално.

[ins-]

РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО – СТАРА ЗАГОРА
Общински кръг на олимпиада по математика, 11 март 2006 г.
8 клас
Задача 1. Барман приготвя млечно-вишнев сок като изсипва в миксера различно количество мляко и вишнев сок, но еднакво струващи. Цената на един литър мляко е 0,80 лв, а на един литър вишнев сок – 1,20 лв. Колко струва един литър млечно-вишнев сок?
Задача 2. Графиката на функцията минава през точка A(-1, 0). Пресметнете:
а) 2005+b-a
б) 2006+a+b, ако е известно още, че точка B(0, 2) е върху графиката на функцията.
Задача 3. Нека ABCD е ромб с остър ъгъл при върха A равен на 60 градуса;. Точките M и N са съответно върху страните му AD и CD такива, че DM+DN=AB.
а) Докажете, че триъгълникът BMN е равностранен.
б) При какво положение на M и N периметърът на триъгълника DMN е най-малък?

[ins-]

Съжалявам за многото последователни постове.
За полинома на втората картинка в последната картинка- степените са 4,3,2.
За задача 1 а) - (2а) е на степен 3, а в знаменателя на първата дроб е а^3 + 8.
Всички останали степени, които се виждат/или не в задача 1 за 2-ки.
б) B=5.корен квадратен от нещо си.

Можете да пуснете още липсващи години и да се направи секция:
"РЕСУРСИ", където да има всички години и всички кръгове на
Националната Олимпиада по Математика, а след време и на други
математически състезания.

Хубаво ще е, ако някой напише и тема "Задачи от Олимпиади за 9 клас " и другите класове.

Засега не пускам съставени от мен теми, защото може да харесат някоя от тях или
определена задача. След като мине олимпиадата ще ги покажа. Смея да твърдя, че
превъзхождат поне 50-60% от показаните тук теми.

[Pinetop Smith]

ins, това, което направи, е прекрасно! Досега в Интернет не можеха да се намерят и наполовин толкова теми, колкото пусна за един час!

Може ли да напишеш тук полинома от трета задача, защото отново не се разчита, съжалявам за безпокойството

А темите са от "Сборник по математика за 8 клас" от Вячеслав Величков и Диана Раковска - изключително полезен.

[ins-]

Даже и повече ще мога да покажа, ако стане да се издаде един сборник - ще е много як
и ще напиша, ако стане готов (за съжаление това не зависи от мен). Ще съдържа общински кръг за всички класове за 10-15 години. Съжалявам за оформлението на темите.
В момента превеждам задачите от НОМ на английски език и обменяме материали с други
хора, които се занимават с това - стигнал съм до 1962 година (все пак е срамота България да е с репутация на световна сила в математиката и никъде да няма събрани темите за всички години), но ми липсват темите за 5 години III и IV кръг - 1991-1994 + 2002 - всички останали години имам, така, че ще се радвам, ако някой намери време да ги пусне.

Полинома е: [tex]2x^{4}-9x^{3}+9x^{2}[/tex]

... причината да обичам да се занимавам с математика сигурно е, че не съм математик.

P.S. На този сайт също има други теми за 8-ми клас.

[Pinetop Smith]

Решение на Велико Търновската геометрия.

Нека М е симетричната на С относно АВ, като DK и DL пресичат ВМ съответно в Т и Р. Лесно следва, че триъгълниците АЕС и СВР са еднакви. Оттук DC = CE = BP. Освен това, PT || DC и DT || CP, откъдето DTPC е успоредник и ТР = РВ. Сега търсеното равенство следва от PL - средна отсечка в КТВ.

[ins-]

Задачата я има в сборника с групи ... "А", "Б", "В", но в раздел "подобности" мисля, че беше, давана е на Руска Олимпиада, но отдавна. Има решение и със средна отсечка в
трапец също. Поне като ученик бях измислил такова. Има я и в Интернет поне на 2
места известна задача, ама здрава.

[Pinetop Smith]

Здравей, ins! С нетърпение ще чакам сборника
Случайно да знаеш от коя година е следния областен кръг:

[ins-]

Задачите от областен кръг за 8-ми клас почти не ги следя - виждал съм само за 1998 и някакви много много стари... От коя година е?

[Pinetop Smith]

И аз не знам, затова питам.