Интеграл

[ins-]

Пресметнете:
[tex]\int \frac{x^{2}(lnx-1)}{x^{4}-ln^{4}x}\,dx[/tex]

[Реклама]

[Михаил]

Разбии знаменателя на множители и използвай метода на неопределените коефициенти.
П.С.Сметките не са особено приятни ако някой ти предложи по лесно решение обади се.

[ins-]

Kopirano e ot sait...

Solutie.

Sa notam cu I integrala data. Prin impartire cu [tex]\ln^{4}x[/tex], avem:

[tex]I=\int\frac{\frac{x^2}{\ln^2 x}\cdot\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}}{\left(\frac{x}{\ln x}\right)^{4}-1}\right) dx[/tex].

Folosind substitutia [tex]\frac{x}{\ln x}=t[/tex], integrala noastra se transforma in

[tex]I=\frac{t^2}{t^4-1}dt=\int\left(\frac{1}{t^2-1}+\frac{1}{t^2+1}\right)dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \ln\frac{t-1}{t+1}+\arctan t)[/tex].

Revenind la substitutia initiala se obtine

[tex]I=\frac{1}{4}\ln\frac{x-\ln x}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{\ln x}+\mathcal{C}[/tex]