Регистрирайте се
Да се пресметне инеграла:
|
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Dragon Начинаещ
Регистриран на: 06 Feb 2008 Мнения: 1
|
Пуснато на: Wed Feb 06, 2008 11:05 pm Заглавие: Да се пресметне инеграла: |
|
|
Ако може някой да ми помогне за тази задача. Предварително ви благодаря. Да се пресметне инеграла:
[tex]\int_{|z|=4}\frac{e^z-1}{z^3 cos z } dz[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Mon Feb 11, 2008 1:12 am Заглавие: |
|
|
Упътване:
[tex]e^z=1+\frac{z}{1!} +\frac{z^2}{2!} +...[/tex]
[tex]cos z = sin{\left( \frac{\pi }{2} \pm z \right )} = \frac{\pi }{2} \pm z-\frac{1}{3!}{\left( \frac{\pi }{2} \pm z \right )}^3 +\frac{1}{5!}{\left( \frac{\pi }{2} \pm z \right )}^5-...[/tex]
Следва заместване и неколкократно прилагане на диференциалната формула на Коши и формулата за интегралите.
Последната промяна е направена от Infernum на Sat Feb 16, 2008 10:44 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
Infernum Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006 Мнения: 740
гласове: 20
|
Пуснато на: Sat Feb 16, 2008 10:42 pm Заглавие: |
|
|
Функцията [tex]f(z)=\frac{e^z-1}{z^3cos z}[/tex] е аналитична във всяка точка от вътрешността на окръжността [tex]|z|=4,[/tex] с изключение на точките
[tex]z=0, \ z=\pm \frac{\pi}{2}.[/tex]
Като се оградят тези точки със затворени жорданови криви Ci, i=1, 2, 3, ще се получи
[tex]\int_{|z|=4}\frac{e^z-1}{z^3cos z}dz=\sum_{i=1}^{3}\int_{C_i}\frac{e^z-1}{z^3cos z}dz=\int_{C_1}\frac{f_1(z)}{z^2}dz+\int_{C_2}\frac{f_2(z)}{\frac{\pi }{2}-z}dz+\int_{C_3}\frac{f_3(z)}{\frac{\pi }{2}+z}dz[/tex]
където
[tex]f_1(z)=\frac{1+\frac{z}{2!}+...}{cos z}[/tex]
[tex]f_2(z)=\frac{e^z-1}{z^3 \left[1-\frac{1}{3!} {\left(\frac{\pi }{2}-z\right)}^2+...\right]}[/tex]
[tex]f_3(z)=\frac{e^z-1}{z^3 \left[1-\frac{1}{3!} {\left(\frac{\pi }{2}+z\right)}^2+...\right]}[/tex]
Очевидно функциите fi, i=1, 2, 3 са аналитични във вътрешностите на кривите Ci, i=1, 2, 3, затова като се приложат диференциалнaтa формули на Коши и формулaтa за интегралите, ще се получи
[tex]\int_{|z|=4}\frac{e^z-1}{z^3cos z}dz=2\pi i \left[f_1'(0)-f_2\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_3\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right].[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|