Регистрирайте сеРегистрирайте се

Да се пресметне инеграла:


 
   Форум за математика Форуми -> Комплексен анализ
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Dragon
Начинаещ


Регистриран на: 06 Feb 2008
Мнения: 1


МнениеПуснато на: Wed Feb 06, 2008 11:05 pm    Заглавие: Да се пресметне инеграла:

Ако може някой да ми помогне за тази задача. Предварително ви благодаря. Да се пресметне инеграла:

[tex]\int_{|z|=4}\frac{e^z-1}{z^3 cos z } dz[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Mon Feb 11, 2008 1:12 am    Заглавие:

Упътване:

[tex]e^z=1+\frac{z}{1!} +\frac{z^2}{2!} +...[/tex]

[tex]cos z = sin{\left( \frac{\pi }{2} \pm z \right )} = \frac{\pi }{2} \pm z-\frac{1}{3!}{\left( \frac{\pi }{2} \pm z \right )}^3 +\frac{1}{5!}{\left( \frac{\pi }{2} \pm z \right )}^5-...[/tex]

Следва заместване и неколкократно прилагане на диференциалната формула на Коши и формулата за интегралите. Wink


Последната промяна е направена от Infernum на Sat Feb 16, 2008 10:44 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sat Feb 16, 2008 10:42 pm    Заглавие:

Функцията [tex]f(z)=\frac{e^z-1}{z^3cos z}[/tex] е аналитична във всяка точка от вътрешността на окръжността [tex]|z|=4,[/tex] с изключение на точките

[tex]z=0, \ z=\pm \frac{\pi}{2}.[/tex]

Като се оградят тези точки със затворени жорданови криви Ci, i=1, 2, 3, ще се получи

[tex]\int_{|z|=4}\frac{e^z-1}{z^3cos z}dz=\sum_{i=1}^{3}\int_{C_i}\frac{e^z-1}{z^3cos z}dz=\int_{C_1}\frac{f_1(z)}{z^2}dz+\int_{C_2}\frac{f_2(z)}{\frac{\pi }{2}-z}dz+\int_{C_3}\frac{f_3(z)}{\frac{\pi }{2}+z}dz[/tex]

където

[tex]f_1(z)=\frac{1+\frac{z}{2!}+...}{cos z}[/tex]

[tex]f_2(z)=\frac{e^z-1}{z^3 \left[1-\frac{1}{3!} {\left(\frac{\pi }{2}-z\right)}^2+...\right]}[/tex]

[tex]f_3(z)=\frac{e^z-1}{z^3 \left[1-\frac{1}{3!} {\left(\frac{\pi }{2}+z\right)}^2+...\right]}[/tex]

Очевидно функциите fi, i=1, 2, 3 са аналитични във вътрешностите на кривите Ci, i=1, 2, 3, затова като се приложат диференциалнaтa формули на Коши и формулaтa за интегралите, ще се получи

[tex]\int_{|z|=4}\frac{e^z-1}{z^3cos z}dz=2\pi i \left[f_1'(0)-f_2\left(\frac{\pi}{2}\right)+f_3\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right].[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Комплексен анализ Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.