Малко хелп за задача по геоматрия

[inablue]

Ето условието:
Отсечката CD е височина към хипотенузата на правоърълния триггълник ABC, а отсечките CM и CN са ъглополовящи съответно в триъгълниците ADC и BDC.
Да се докаже:
а)AN=Ac и BM=BC
б)центърът на описаната около триъгълник MNC окръжност съвпада с центъра на вписаната в триъгълник ABC окръжност

Моля ви за помощ защото не съм много добра по математика.Благодаря предварително !!!

[Реклама]

[Tony_89]

а)
<ACD = 90* - <CAD = 90* - <BAC = <ABC
<DCN = <BCN =>
=> <ACN = <ABC + <BCN
<ANC = <ABC + <BCN (външен за триъгълник BNC) =>
=> <ACN = <ANC =>
=> AC=AN
аналогично за BM=BC
б)
Нека O – центърът на описаната окръжност около триъгълник MNC
Нека R1 – радиусът й
Ако O съвпада с центъра на вписаната в триъгълник ABC окръжност, то перпендикуляра от О към AB трябва да е равен на радиуса на вписаната окръжност в ABC (Нека да е r)
Нека перпендикуляра от O към AB да е OP.
2*R1 = MN/sin(<MCN) (синусовата теорема)
R1 = MN/SQRT(2)
<MCD = (1/2)*<ACD, <NCD = (1/2)*<BCD =>
=> <MCD+<NCD = (<ACD+<BCD)/2 = 45*
<MCN=45*
<MON = 2*<MCN = 90*, OM=ON=R1 =>
=> триъгълник MNO е правоъгълен и равнобедрен =>
=> OP се получава MN/2
AN=MN+AM=AC, BM=MN+BN=BC =>
=> P(ABC) = MN+AM + MN+BN + AB = 2*MN+AB+AM+BN=
2*MN+AB+AB-MN = MN + 2*AB
Нямам време да изпиша доказателството,
но 2*r = P(ABC) – 2*AB = MN => 2*r = MN = 2*OP =>
=> r = OP =>
=> O съвпада с центъра на вписаната в триъгълник ABC окръжност

[Tony_89]

Всъщност това, което съм написал не е достатъчно доказателство.
CO = R1 = MN/SQRT(2) = 2*r/SQRT(2) = SQRT(2)*r, а във всеки правоъгълен триъгълник разстоянието между центъра на вписаната окръжност и върха при правия ъгъл трябва да SQRT(2)*r.

[vel_]

Може ли и аз да кажа?

Увлечени от новите знания за алгебрично решаване на геометрични задачи нека да не забравяме свойствата.

Центърът на вписаната окръжност в триъгълник АВС е пресечна точка на ъглополовящите.

Ъглополовящата на ъгъл САВ и симетрала на СN(следва от доказателство а)). Аналогично и за другата ъглополовяща. Пресечната им точка е център на вписаната окръжност за АВС и вписаната на MNP.

[vel_]

Извинявам се.Последното е MNC.

[Tony_89]

vel, ти направо ми отвори очите
колко се мъчих да се сетя за моето решение

[vel_]

Toni,
Zatova vsi4ki haresvame math10- toj svyrzva na6iqt interes kym matematikata.

[Futurolog]

Може и следното решение (извинявам се, ако някои места се препокриват) за подточка б):

След като сме показали, че АN = AC и BM = BC в подточка а), нека с O означим центъра на вписаната в триъгълника АВС окръжност. Да спуснем перпендикулярите ОК, ОТ и ОР от точка О към съответно страните АВ, ВС и АС. Тогава, това са допирните точки на вписаната окръжност със страните на триъгълника. Да сметнем колко са NK и МК. NK = АN - АК = АС - АК = АС - 1/2(АВ + АС - ВС) =( АС + ВС - АВ)/2 = СР = СТ = ОТ (радиуса на вписаната окръжност). Последното равенство следва от факта, че сме в правоъгълен триъгълник и ОТСР е квадрат. Съвсем аналогично разсъждение и пресмятане ни показва, че и МК = ОТ. Следователно NK = МК = ОТ = ОК. Също ОК е перпендикуляр към АВ. Следователно тр.МКО и тр.NKO са равнобедрени правоъгълени и еднакви. Но те са еднакви и с триъгълнк СТО, който е също равнобедрен правоъгълен и има равни катети с предходните два. Следователно хипотенузите ОМ, ОN и ОС на тези три еднакви триъгълника са равни,т.е. точките М,N,С са равноотдалечени от точка О, т.е. О е център на описаната окръжност около тр.MNC.

Просто си помислх, че така задачата не използва познания по тригонометрия и се доказва с малко по-елементарни средства.

П.С. Темата е от доста отдавна, извинявам се, ако не е актуална вече.