Състезание на math10

[Мирослав Стоенчев]

В средата на следващата седмица ще стартира олимпиадата на math10. Участниците са разделени в две групи: 8-9 клас и 10-11-12 клас.



Примерна тема за 8-9 клас


Задача 1. Да се намери най-малкото трицифрено число, което е равно на сумата от третите степени на цифрите си.

Задача 2. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] e представено като обединение на [tex]k[/tex] непресичащи се множества, всяко от които не съдържа аритметична прогресия. Да се определи минималната възможна стойност на [tex]k,[/tex] ако
а) [tex]n=9[/tex]
б) [tex]n=32[/tex]

Задача 3. Нека [tex]P[/tex] e [tex]n[/tex]-ъгълник вписан в окръжност и описан около друга окръжност, без двойки равни страни. Да се докаже, че правата през центровете на вписаната и описаната окръжности, пресича във вътрешни точки най-късата и най-дългата страна на [tex]P.[/tex]



Примерна тема за 10-11-12 клас


Задача 1. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] e представено като обединение на [tex]k[/tex] непресичащи се множества, всяко от които не съдържа аритметична прогресия. Да се определи минималната възможна стойност на [tex]k[/tex] ако
а) [tex]n=8[/tex]
б) [tex]n=16[/tex]


Задача 2. Нека [tex]h_{a},h_{b},h_{c},\ r_{a},r_{b},r_{c}[/tex] са съответно дължините на височините и радиусите на външно-вписаните окръжности за произволен триъгълник. Да се докаже, че [tex]\ \frac{r_{a}}{h_{b}+h_{c}}+\frac{r_{b}}{h_{c}+h_{a}}+\frac{r_{c}}{h_{a}+h_{b}}\ge \frac{3}{2}.[/tex]


Задача 3. За произволни естествени числа [tex]a,b,c,d[/tex] полагаме [tex]T(a,b,c,d)=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})[(ac+bd)^{2}+(ad+bc)^{2}].[/tex]
а) Възможно ли е [tex]T(a,b,c,1)[/tex] да бъде точен квадрат на цяло число?
б) Да се докаже, че [tex]T(a,1,c,1)[/tex] не може да бъде точен квадрат на цяло число.


Време за работа 7 дни. Всяка задача се оценява със 7 точки. Задачите са съставени от М Стоенчев. Ще помоля участниците да изпращат решенията си, а също и частичните си резултати по задачите, под формата на ЛС или на e-mail: miro_ost@mail.bg.
Официално състезанието на math10 ще стартира в средата на следващата седмица.

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Днес 14.02.2008 стартира състезанието на math10 за ученици. Състезателните теми са следните:


Тема 1 за 8-9 клас


Задача 1. Да се намери най-малкото трицифрено число, което е равно на сумата от третите степени на цифрите си.


Задача 2. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] e представено като обединение на [tex]k[/tex] непресичащи се множества, всяко от които не съдържа аритметична прогресия. Да се определи минималната възможна стойност на [tex]k[/tex] ако
а) [tex]n=9[/tex]
б) [tex]n=32[/tex]


Задача 3. Нека [tex]P[/tex] e [tex]n[/tex]-ъгълник вписан в окръжност и описан около друга окръжност, без двойки равни страни. Да се докаже, че правата през центровете на вписаната и описаната окръжности, пресича във вътрешни точки най-късата и най-дългата страна на [tex]P.[/tex]


Задача 4. Да се намери броя на осем-членните аритметични прогресии, които са подмножества на множеството [tex]\left\{1,2,...,2008\right\}.[/tex]


Задача 5. Да се намерят всички тройки [tex](p,q,r)[/tex] от естествени числа, за които [tex]p,q[/tex] са прости и [tex](r^2+pr+1)\left\[r^2+(p^2-q)r-p\right\]=pq.[/tex]


Задача 6. Върху окръжност са избрани [tex]n[/tex] точки, разстоянията между всеки две от които са целочислени. Да се докаже, че поне [tex]\frac{1}{6}[/tex] от разстоянията са четни.


Тема 1 за 10-11-12 клас



Задача 1. Множеството [tex]A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}[/tex] e представено като обединение на [tex]k[/tex] непресичащи се множества, всяко от които не съдържа аритметична прогресия. Да се определи минималната възможна стойност на [tex]k[/tex] ако
а) [tex]n=8[/tex]
б) [tex]n=16[/tex]


Задача 2. Нека [tex]h_{a},h_{b},h_{c},\ r_{a},r_{b},r_{c}[/tex] са съответно дължините на височините и радиусите на външно-вписаните окръжности за произволен триъгълник. Да се докаже, че [tex]\ \frac{r_{a}}{h_{b}+h_{c}}+\frac{r_{b}}{h_{c}+h_{a}}+\frac{r_{c}}{h_{a}+h_{b}}\ge \frac{3}{2}.[/tex]


Задача 3. За произволни естествени числа [tex]a,b,c,d[/tex] полагаме [tex]T(a,b,c,d)=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})[(ac+bd)^{2}+(ad+bc)^{2}].[/tex]
а) Възможно ли е [tex]T(a,b,c,1)[/tex] да бъде точен квадрат на цяло число?
б) Да се докаже, че [tex]T(a,1,c,1)[/tex] не може да бъде точен квадрат на цяло число.


Задача 4. Нека [tex]n[/tex] и [tex]k[/tex] са естествени числа, като [tex]n\ge k\ge 3[/tex]. Да се намери броя на [tex]k[/tex]-членните аритметични прогресии, които са подмножества на [tex]\left\{1,2,...,n\right\}.[/tex]

Задача 5. Даден е остроъгълен [tex]\triangle ABC,[/tex] [tex]CA\ne CB;[/tex] [tex]O,H,F[/tex] са съответно център на описаната окръжност, ортоцентър и пета на височината от върхът [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex]. Нека още [tex]\angle DFO=\angle EFO=90^\circ ,[/tex] където [tex]D[/tex] принадлежи на [tex]BC,[/tex] а точка [tex]E[/tex] принадлежи на правата минаваща през [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex].
Да се дoкаже, че [tex]\angle DHE=\angle ACB.[/tex]

Задача 6. Нека [tex]ABCD[/tex] е трапец вписан в окръжност и описан около друга окръжност. Да се докаже, че поне едно от числата [tex]|AB|,\ |BC|,\ |CD|,\ |DA|,\ R,\ r[/tex] е ирационално.

[Мирослав Стоенчев]

Време за работа - две седмици. Резултатите от тема 1 ще бъдат обявени на 3 Март. За първенците в групите ще има награди