Помощ за една красива задача :D

[sensable]

Задачата е давана в СУ-2001г.




[img=http://img217.imageshack.us/img217/4029/za004we8.th.jpg]

[Реклама]

[Tony_89]

Очевидно [tex]cos^{2}(\pi .\frac{xy + 2}{\sqrt{x^{2} + y} }) \in (0;1][/tex]

Ако [tex]cos^{2}(\pi .\frac{xy + 2}{\sqrt{x^{2} + y} }) \in (0;1)[/tex],


[tex]\frac{1}{cos^{2}(\pi .\frac{xy + 2}{\sqrt{x^{2} + y} })} > 1 =>[/tex]

[tex]=> y^{2} - 2y + \frac{1}{cos^{2}(\pi .\frac{xy + 2}{\sqrt{x^{2} + y} })} > y^{2} - 2y + 1 \ge 0 =>[/tex]

[tex]=> cos^{2}(\pi .\frac{xy + 2}{\sqrt{x^{2} + y} }) = 1[/tex]

[tex]y^{2} - 2y + 1 = 0 => y = 1[/tex]

[tex]cos(\pi .\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1} }) = \pm 1[/tex]

[tex]\pi .\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1} } = k.\pi[/tex]

[tex]\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1} } = k[/tex]

[tex]x + 2 = k.\sqrt{x^{2} + 1}[/tex]

[tex]x^{2} + 4x + 4 = k^{2}.x^{2} + k^{2}[/tex]

[tex](k^{2} - 1).x^{2} - 4x + k^{2} - 4 = 0[/tex]

[tex]D = 4k^{2}.(5 - k^{2}) \ge 0[/tex]

[tex]k \in Z =>[/tex]

[tex]k^{2} = 0,1,4[/tex]

При k² = 0, x = -2

При k² = 1, x = -3/4

При k² = 4, x = 0 или 4/3