Зимни Математически Състезания 2008

[Мирослав Стоенчев]

Нека тук да обсъждаме задачи, решения, класиране и всичко интересно свързано със ЗМС 2008.

[Реклама]

[Цочев]

Е, аз бях на формат матура и си спомням, че времето не беше достатъчно...

[Cool Angel]

А можете ли да ми кажете къде ще изнесат резултатите на малките 4 - 8 клас - Плевен?

[ins-]

Къде мога да видя условията на задачите?

[Cool Angel]

И на двата сайта - за Плевен и Русе не могат да се видят резултати?? Някаде където са активни???

[Мирослав Стоенчев]

Следните редове са провокирани от задача 4 за 8 клас, предложена от С Гроздев на ЗМС.


Задача 4. Да се намерят две последователни цели числа, между квадратите на които е заключено числото[tex]A=\frac{2.4.6...2008}{1.3.5...2007}.[/tex]

Р-е: За прегледност да положим [tex]\ n=1004\Rightarrow A=\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}.[/tex]

В сила са следните две очевидни неравенства:

[tex]i)\ \frac{3}{4}>\left\(1-\frac{1}{2^2}\right)\left\(1-\frac{1}{4^2}\right)...\left\(1-\frac{1}{(2n)^2}\right)[/tex]

[tex]ii)\ 1>\left\(1-\frac{1}{3^2}\right)\left\(1-\frac{1}{5^2}\right)...\left\(1-\frac{1}{(2n-1)^2}\right),[/tex]

които са използвани при доказателството на Теоремата на Чебишев тук: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2779


Тогава от [tex]i)\Rightarrow \frac{3}{4}>\frac{2n+1}{A^2}\Rightarrow A>\sqrt{\frac{4(2n+1)}{3}}>2\sqrt{\frac{2009}{3}}>51>7^2.[/tex]

От [tex]ii)\Rightarrow 1>\frac{(2.4)(4.6)...\left\((2n-2)(2n)\right\)}{3^25^2...(2n-1)^2}\Rightarrow 1>\frac{A^2}{4n}\Rightarrow A<2\sqrt{n}=2\sqrt{1004}<64.[/tex]

Доказахме, че [tex]7^2<A<8^2.[/tex]

[Шушон]

От Русе още няма резултати
Та споделете - къде бяхте, какво правихте, как ви се сториха задачите, колко задачи решихте, а другарчетата ви?

[krassi_holmz]

Ми на мене ми харесаха горе долу задачите (10 клас).
Първа - без коментар, лесна както винаги.
С втората се помъчих половин час да я реша синтетично, и като ми мина мързела седнах и я доказах чисто векторно, с 2 листа сметки, от които ме заболя главата.
После захванах четвъртата, която (почти) реших Общо взето, за завършване на доказателството ми е трябвало да напиша още един ред, но нищо. Радвам се, че съм я усетил правилно.
И за третата задача ми остана половин час - достатъчно, за да надраскам набързо лесното решение на подточка а и да напиша куп глупости за подточка б.
Накрая станах втори, а очаквах да съм около седми...

[soldier_vl]

Къде ги има задачите???

[Cool Angel]

Откъде да си сваля условията?

[Pinetop Smith]

Ми тя моята стана като барабар Кольо с математиците, ама все пак съм доволен

ПП: Cool Angel, ако искаш, мога да ти ги сканирам(+ решенията).

[Cool Angel]

Ами ако не те затруднявам много задачите за 9 - 12 клас Мерси предварително.

[m1t3]

Мене тая година грипа ми прецака състезанието...
даже не ходих

[Joshua92]

ами като говорим за нещо интересно последната задача на 9 клас е била решавана от всички участници на малката балканиада по време на подготовката им.Аз съм 9 клас и ми се вижда малко некоректно.

[dimitrov89]

относно задачите за 12клас.... изкарах 12 точки (6,3,2,1)
Втората ни задача, геометрията, можеше да се даде за всички класове от 8 до 12 клас. Като най-добре щеше да е решена от 8 клас. Последните 2 задачи... типични за Николов и Мушкаров...

[Joshua92]

зад1(6 точки)
нека а ереално число такова че квадратното уравнение x²-x+a има два различни корена x₂ и x₁. Да се докаже,че x₁² - x₂²=1 тогава и само тогава,когато x₁³ - x₂³=1.

зад2(6 точки)
Точка M е средата на отсечката АB а точка C е вътрешна за AB и C не съвпада с М.В едната полуравнина относно правата AB са построени равнобедрените триъгълници АCK(АК=CK) и BCL(BL=CL) такива 4е K,C,L,M лежат на 1 окръжност. Да се докаже, че или KL успоредна на AB или е перпендикулярна на AB
зад3 ( 7 точки)
Да се намери най-малкото естестено число за което съществуват цели числа x₁, x₂,....x_n, такива че
x₁³+x₂³+.......+x_n³=2008
зад 4
Равностранен триъгълник АBC е разделен на 100 равностранни триъгълници със страна 1 чрез прави успоредни на страните на ABC.Да се намери броя на всички равнобедрени трапци, получени при разделянето на АBC, с основи успоредни на една от страните на ABC и бедра успоредни на другите две страни

[снежанка]

Наи - интересно ми е класирането при 9 ти клас... Тези момичета от Шумен са световно тъпи и ако човек разгледа участията им досега и резултатите много ще се замисли за прозрачността на оценяването...

[dimitrov89]

[Joshua92]

нaпълно съм съгласен с мнението на снежанка.За пример биь дал резултатите от есенния турнир кадето беше анонимно

[dimitrov89]

Тема за 12 клас

Задача 1 (6 точки) /Олег Мушкаров/

Да се намерят стойностите на реалния параметър α, за които неравенството
[tex] \log_{\frac{a+1}{a-1}}(x^2-x+1)<1[/tex]

е изпълнено за всяко x.

Задача 2 (6 точки) /Николай Николов/

Ъглополовящата на [tex]\angle BAC[/tex] в [tex]\Delta ABC[/tex] пресича страната BC в точка E, а външната ъглополовяща на [tex]\angle ACB[/tex] пресича лъча BA в точка F. Ако дължината на отсечката AF е равна на периметъра на [tex]\Delta ACE[/tex]. Да се намери отношението [tex]\angle BAC[/tex] : [tex]\angle ABC[/tex].

Задача 3 (7 точки) /Олег Мушкаров/

Нека [tex]f_k(x)=\frac{1}{k} (\sin^k{x}+\cos^k{x})[/tex]. Да се намерят всички естествени числа m и n, m\ne n, за които функцията
[tex]f_m(x)-f_n(x)[/tex] е константа.

Задача 4 (7 точки) /Николай Николов/

Нека [tex]R^[/tex]+ е множеството на реалните положителни числа.
а) Да се построи пример за функция [tex]f:R^+ -> R^+[/tex], която има следното свойство:
[tex]2f(x^2) \ge xf(x)+x[/tex] за всяко x>0.

б) Да се докаже, че ако [tex]f(x)[/tex] има свойството от а), то [tex]f(x^3)\ge x^2[/tex], при x>0.

[soldier_vl]

dimitrov89 не си дал какво е неравенството на първа задача

[Grands]

11 клас съм, на 1 задача имам 6 точки, на 2а, която аз описах на 5 листа, са дали едната точка, която се полага, на 2б хванах идеята и писах до последния момент, но не са оценили нищо. Като че ли за 3-та имах някаква идея, но нямах време. Общо 7 точки. Аз съм много прост, от Русе съм и не се уговорихме да се съберем.

[marto_mn]

Относно задачите за 9 клас:
Първа задача - формули на Виет.
Втора задача - единствената трудна задача в темата(поне според мен). По нея мислих последния час на състезанието, не я доизмислих, но пък измислих достатъчно за 4 точки, а това не е малко
Трета задача - не трудна, човек само трябва да внимава в разсъжденията си за случая с n=2.
Четвърта задача - шансът човек да сбърка на тази задача е доста голям. Все пак и по най-рационалния начин трудно се брои до 2085 За щастие на тази задача минах без технически грешки.
Изкарах 24 от 26 точки и съм втори

[Grands]

Тема за 11 клас

Задача 1. (6 точки) Дадени са различните цели числа a, b и c, който образуват аритметична прогресия. Същите числа, евентуално в някакъв друг ред, бразуват геометрична програсия. Да се докаже, че [tex]a^2+b^2+c^2[/tex] се дели на 21.

Задача 2. (6 точки) Даден е [tex]\Delta ABC[/tex] с ъглополовяща CL ([tex]CA\ne CB, L\in AB[/tex]). Вписаната в триъгълника окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки M, N и P, а външно вписаната откъм AB окръжност се допира до AB и продълженията на CA и CB съответно в точки Q, K и T. Нека [tex]k_{1}, k_{2}[/tex] и [tex]k_{3}[/tex] са описаните окръжности около [tex]\Delta PKL[/tex], [tex]\Delta NTL[/tex] и [tex]\Delta CMQ[/tex].
а) Да се докаже, че втората пресечна точка на [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] лежи на правата CL.
б) Да се докаже, че [tex]k_{1}, k_{2}[/tex] и [tex]k_{3}[/tex] се пресичат в една точка.

Задача 3. (7 точки) Дадени са 2n, [tex]n\in N[/tex], външно неразличими монети. Известно е, че n от тях имат едно и също тегло a, а останалите n монети също са с едно и също тегло b, като a<b. Разполагаме с кантар, с който можем за претеглим общото тегло на кои да са n от монетите. Да се докаже, че с n+1 претегляния с този кантар можем да намерим a и b.

Задача 4. (7 точки) Нека [tex]n_{0}, n_{1},...,n_{2008}[/tex] са дадени естествени числа, а М е множеството от всички полиноми [tex]f(x)=a_{0}x^{2008}+a_{1}x^{2007}+...+a_{2007}x+a{2008}[/tex], такива че за всяко i, [tex]0\le i\le 2008[/tex], имаме [tex]a_{i}\in 1, 2,...,n[/tex]. Да се определи кои полиноми от М са повече: тези, на които всички корени са цели числа или тези, който нямат нито един реален корен.

[dimitrov89]

[dimitrov89]

[v1rusman]

Joshua92,може ли да обясниш откъде научи,че тази задача е решавана от деветокласници при подготовката за балканиада ? Ако това е истина, е абсолютно некоректно спрямо всички участиници от 9.клас.

[Joshua92]

Относно въпроса на V1rusman задачата е част от първото домашно за малката Балканиада(състоящо се от 40 задачи погледни номер 10 ако ги имаш ако не мога да ти ги намеря) и в последствие е била обяснявана по време на подготовката.Информацията е имам от Кубрат които е участник в малката балканиада миналата година.Според мен тази задача трябва да се анулира.

[angelinka]

Потвърждавам информацията на Joshua. Задачата беше давана и от "отбора на Мадлен" я бяха решавали. Те именно обясняваха как да стане. И досега не съм убедена, че решението им е приложимо за всички случаи- не е въпрос само на броене.
Няма ли някой да качи решенията от брошурата да видим кои бляскави "красиви" решения журито приема за действителни. Ако видите моята работа и какво са прочели или не са прочели в нея ще се изненадате. Заяждат се за пропусната дума. Или за некрасиво писане- дали краснописът не е красиво решение? За мен е оценявано през пръсти и недоброжелателно.
Толкова нерви изхабих, че нашите казаха, че им е писнало от моите "радини вълнения" и да взема като всяко нормално момиче да се напивам и да ходя по дискотеки, а не да ги занимавам с тъпотии.../шега, шега/.
Май друг път е добре състезанието да е анонимно и да не се допуска мениджъри на PR на разни герои да участват в проверката. Излиза, че бъхтим до другия край на България за да служим за фон на фаворити, които някой е решил да избутва напред.
Моята ръководителка направи опит за контестация, но така и не се разбра как може да стане и от кого "преди да се изнесат резултатите". Откакто пишат, че на учителите плащат според олимпиади и състезания народът пощуря. Дано поне си заслужава и г-н Министъра знае какво се случва и за какво се харчат пари. Всяко, и най-добро намерение се изкривява, ако зад него стои възможността някои да направи пари или да погъделичка егото си.
Четох регламента на Министерството- там пише, че олимпиадите са анонимни, а състезанията, от които се подбират национални отбори по регламент не са. Ха...ха...ха...
А Марто, ти си пич...Ще ми липсваш, ако спря да ходя по състезания. Твоя Ангелинка

[astateoftrance]

Аз леко се оцапах...имам 9точки, най-много ме е яд за последната задача, блъсках си главата 1 час и нищо не стана, а у нас я реших точно за 10мин...(10 клас съм)
Може ли да ми кажете къде да намеря решенията за 10клас, че искам да видя как става 3б..