Сметнете

[Infernum]

Сметнете сумите:

rsin x + r² sin 2x +...+ rⁿ sin nx
rcos x + r² cos 2x +...+ rⁿ cos nx

r, x E R.
n E N

[Реклама]

[Kerry]

(rcos x + r2 cos 2x +...+ rn cos nx) + i*(rsin x + r2 sin 2x +...+ rn sin nx)=
= re^ix + r²e^i2x +.....+ rⁿe^inx = z + z² +.....+ zⁿ = z(zⁿ-1)/(z-1), където z = re^ix.

Умножаваме числителя и знаменателя с комплексно спрегнатото
на знаменателя (r²z^-1-1) и за сумата на геометричната прогресия получаваме

[tex]\frac{(z^n-1)(r^2-z)}{r^2-r^2 z^-^1 -z +1 }=\frac{r^2z^n-z^n^+^1+z-r^2}{r^2-re^-^i^x-re^i^x+1 }=\frac{r^n^+^2e^i^n^x-r^n^+^1e^i^(^n^+^1^)^x+re^i^x-r^2}{r^2-2rcosx+1 } = [/tex]

=[(rⁿ⁺²cosnx-rⁿ⁺¹cos(n+1)x+rcosx-r²)/(r²-2rcosx+1) ] +
+ i[(rⁿ⁺²sinnx-rⁿ⁺¹sin(n+1)x+rsinx)/(r²-2rcosx+1) ]

Синьото и червеното горе е равно на синьото и червеното долу.