2 задачи

[matematikat1]

Задача 1.
Да се намерят всички двойки числа m и n, за които
1!+2!+3!+...+n!=m²
(n!=1.2.3...n)

Задача 2.
а)Същестува ли множество m от 101 различни естествени числа,които не са по-големи от 200,такива че нито едно от тях не е разлика на други две числа от това множество.
б)Нека n е множество от 102 различни естествени числа,които не са по-големи от 200.Докажете,че най-малкото от тях е разлика на други две числа от n.

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Задача 1. Р-е: Да допуснем, че [tex]n\ge 7\Rightarrow -2\equiv 1!+2!+...+6!\equiv m^2(\bmod 7)\Rightarrow m^2\equiv -2(\bmod 7),[/tex] което не е изпълнено. Така доказахме, че [tex]n\le 6.[/tex] Намираме, че решенията са: [tex](m,n)=(1,1),\ (3,3).[/tex]

Задача 2. а) Нека [tex]a_{1}=100,\ a_{2}=101,\ a_{3}=102,\ ...\ a_{101}=200.[/tex] Виждаме, че никое от числата [tex]a_{i}[/tex] не е разлика на други две. С това доказахме, че съществуват [tex]101[/tex] числа с исканото свойство.

б) Д-во:Нека [tex]\ a_{1},a_{2},...,a_{102}:\ 1\le a_{1}<a_{2}<...<a_{102}\le 200.[/tex]
Да допсунем, че твърдението не е вярно и нека да разгледаме редицата [tex]a_{2}-a_{1},\ a_{3}-a_{1},\ ...\ ,\ a_{102}-a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ ...\ ,\ a_{102}.[/tex] Съгласно нашето допускане, разглежданата редица се състои от [tex]202[/tex] различни естествени числа, разположени в интервала [tex][1,200].[/tex]
Но последното е невъзможно, следователно допускането ни е погрешно [tex]\Rightarrow \exist i,j\ 2\le j<i\le 200:\ a_{1}=a_{i}-a_{j}.[/tex]

[ismarti]

[Pinetop Smith]

Шести.

При n ≥ 5, 1! + 2! ... + n! окончава на 3, но никой точен квадрат не окончава на три. Останалото е директна проверка.