Интересни състезателни задачи

[Мирослав Стоенчев]

Нека тук всеки да запише задачите, които най-много си е харесал от състезания, конкурси или изпити.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Московски Държавен Университет

Да се намерят стойностите на параметъра a, за всяка от които има поне едно решение системата:

[tex]\ \begin{tabular}{|l}\left|12\sqrt{cos {\frac{\pi y}{2}} }-5\right| - \left|12\sqrt{cos{\frac{\pi y}{2}}}-7\right| + \left|12\sqrt{cos{\frac{\pi y}{2}}}+13\right| = 11 - \sqrt{sin{\frac{\pi (x-2y-1)}{3}}} \\2(x^2 + (y-a)^2)-1 = 2\sqrt{x^2 + (y-a)^2 - \frac{3}{4} } \end{tabular} [/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Избрах си следните:

Задача 1. Нека [tex]n=p_{1}p_{2}...p_{s},[/tex] където [tex]\ p_{1},p_{2},...,p_{s},[/tex] са различни нечетни прости числа.

а) Да се докаже, че изразът [tex]\ F_{n}(x)=\prod\left\(x^{\frac{n}{p_{i_{1}}p_{i_{2}}...p_{i_{k}}}}-1\right\)^{(-1)^{k}},[/tex]
където произведението е взето по всички подмножества [tex]\left\{p_{i_{1}},p_{i_{2}},...,p_{i_{k}}\right\}[/tex] на множеството [tex]\left\{ p_{1},p_{2},...,p_{s}\right\},[/tex] може да се запише като полином на [tex]x[/tex] с цели коефициенти.

б) Да се докаже, че ако [tex]p|F_{n}(2)[/tex] и [tex]p[/tex] е просто, то [tex]p|n[/tex] или [tex]n|p-1.[/tex]

(Иван Тонов, НОМ 1990г)


Задача 2. Да се намери най-малкото естествено [tex]n\ge5,[/tex] за което съществува компания от [tex]n[/tex]души, така че всеки двама, които се познават нямат общ познат, а всеки двама, които не се познават имат точно двама общи познати.

(БОМ 1994г, предложена от България)

Задача 3. Eдно естествено число [tex]r[/tex] ще наричаме степен, ако [tex]r=t^s,\ t\ge 2,\ s\ge 2,\ s,t\in N.[/tex] Да се докаже, че за всяко естествено число [tex]n,[/tex] съществува множество [tex]A[/tex] с [tex]n[/tex] елемента така, че за произволни елементи [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k}\in A,\ 2\le k\le n,[/tex] числото [tex]\frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{k}}{k}[/tex] е степен.

(БОМ 2000г, предложена от Румъния)

[Мирослав Стоенчев]

Задача 4. Нека [tex]A_{n}[/tex] е множеството от всички подмножества на [tex]\left\{1,2,...n\right\}. [/tex] С [tex]\ c(n,m)[/tex] е означен броя на всички функции [tex]f:A_{n}\rightarrow \left\{1,2,...m \right\},[/tex] удовлетворяващи условието [tex]f(B\cap C)=\min\left\{f(B),f(C)\right\}.[/tex]
Да се докаже, че [tex]c(n,m)=\sum_{j=1}^{m}j^{n}.[/tex]

(Пътнам, 1993)



Задача 5. Безкрайната редица от двойки и тройки [tex]2,3,3,2,3,3,3,2,3,3,3,2,3,3,2,3,3,3,2,3,3,3,2,3,3,3,2,3,3,2,3,3,3,2,...[/tex] притежава свойството: Ако се запишат един след друг броевете на тройките, намиращи се между всеки две последователни двойки, то получената редица съвпада с дадената.
Да се докаже, че съществува реално число [tex]r,[/tex] такова че за всяко [tex]n\in N,[/tex] [tex]n[/tex]-тия член на редицата е равен на [tex]2[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]n=1+\left\[rm\right\].[/tex]

(Пътнам, 1993)

[Relinquishmentor]

Московский Государственный Университет

За кои стойности на параметъра [tex]\beta[/tex] броят на двойките цели числа [tex](y,z)[/tex] , удовлетворяващи неравенството [tex]\beta ^3 y^2 + |z|\le \beta ^2 [/tex] е минимален ?

[Мирослав Стоенчев]

Задача 6. Нека [tex]p>3[/tex] е просто число и [tex]k=\left\[\frac{2p}{3}\right\].[/tex] Да се докаже, че сумата [tex]{p\choose 1}+{p\choose 2}+...+{p\choose k}[/tex] се дели на [tex]p^{2}.[/tex]
(Пътнам, 1996)


Задача 7. Нека [tex]p[/tex] е нечетно просто число. Да се докаже, че [tex]\sum_{j=0}^p{p\choose j}{p+j\choose j}\equiv 2^p+1(\bmod p^2).[/tex]
(Пътнам, 1991)


Задача 8. Да се реши в цели числа уравнението [tex]\ x^2+y^2+z^2+2xyz=1.[/tex]
(САЩ)

[Мирослав Стоенчев]

Задача 9. Нека [tex]q_{0},q_{1},...,q_{n},...[/tex] е безкрайна редица от цели числа със следните две свойства:

а) [tex]m-n|q_{m}-q_{n},[/tex] за произволни [tex]m>n\ge 0;[/tex]
б) съществува такъв полином [tex]P(x)[/tex] с реални коефициенти, [tex]|q_{n}|<P(n)\ \forall n. [/tex]
Да се докаже, че съществува такъв полином [tex]Q(x)[/tex] с реални коефициенти, че [tex]Q(n)=q_{n}\ \forall n.[/tex]
(BG, 1995)

Задача 10. Да се докаже, че за произволни [tex]x,y,z\in R[/tex] е в сила неравенството [tex]3(x^2-x+1)(y^2-y+1)(z^2-z+1)\ge (xyz)^2+xyz+1.[/tex]
(BG, 1995)

Задача 11. Нека [tex](a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...,(a_{n},b_{n})[/tex] са координатите на върховете на изпъкнал многоъгълник, който съдържа във вътрешността си началото на координатната система. Да се докаже, че съществуват положителни реални числа [tex]x,y[/tex] за които [tex]\ (a_{1},b_{1})x^{a_{1}}y^{b_{1}}+(a_{2},b_{2})x^{a_{2}}y^{b_{2}}+...+(a_{n},b_{n})x^{a_{n}}y^{b_{n}}=(0,0).[/tex]
(Пътнам, 1996)

Задача 12. Да се изрази като функция на [tex]\ n [/tex] максималната стойност на израза [tex]\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}+x_{n}x_{1},[/tex] където [tex]\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}[/tex] е пермутация на числата [tex]1,2,...,n.[/tex]
(Пътнам, 1996)