Няколко въпроса с неравенства

[complex]

Имам няколко въпроса с няколко неравенства, ще ви бъда много благодарен ако ми помогнете да ги разбера.
1. Да се реши неравенстово:
[tex]\frac{x^3 - x^2 - x +1}{ -x^2 + 5x -6 } >0 [/tex] Получава се : [tex]\frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-2)(x-3) }[/tex] Защо решения на неравенството са (-∞;-1) U (2;3) ?
2. Да се реши неравенстово:
[tex]\frac{2-x}{x^2-x-2 } <1[/tex] Получава се: [tex]\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}>0 [/tex] Защо решения на неравенството са (-∞;-2)U(-1;2)U(2;+∞) а не (-2;1)U(2;+∞) ?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-2)(x-3)}>0 \Leftrightarrow -(x-1)^2(x+1)(x-2)(x-3)>0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x+1)(x-2)(x-3)<0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2)(x-3)<0, x\neq 2, 3;[/tex]

x принадлежи на интервала (–Е; –1), обединено с (2; 3).

[tex]\frac{2-x}{x^2-x-2}<1 \Leftrightarrow \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+1)}>0 \Leftrightarrow (x-2)^2(x+2)(x+1)>0 \Leftrightarrow (x+2)(x+1)>0, x\neq 2, -1;[/tex]

х принадлежи на интервала (–Е; –2), обединено с (–1; +Е).

С Е съм отбелязал безкрайност.

[complex]

Извинявам се за невежеството си, но защо премахваме от решението това което е на квадрат?
Имам въпроси по още няколко задачки:
1. [tex]x^4-x^2-a^2+3a-2=0[/tex] Аз получавам [tex]y_1=\frac{a-1}{ 2}[/tex] и [tex] y_2=\frac{3-1}{2}[/tex] Но не е правлно.
2. Намерете стойностите на параметъра а, при който неравенството:
[tex]\frac{2x^2 +2x -4}{x^2+x+1 }<a [/tex] е изпълнено за всяко х.
На мен ми се получава, че [tex]a\in (0;2)\cup (\frac{10}{3 } ; +\infty ) [/tex] . Но отново не е правилно .
3. Намерете най-малката положителна стойност на параметъра а, за която уравнението:
[tex](a+1)x^2-4ax+a-5=0[/tex] има два положителни корена.
Тук стигнах до намирането на дискриминантата на уравнението: [tex]3a^2 +4a+5[/tex]

[garion]

Принципно се маха защото то винаги е неотрицателно и в случая когато е различно от нула можем да разделим двете страни на неравенството безопасно(т.е. знаем точно дали да запазим посоката на неравенството или да я сменим). Тук обаче трябва да се спомене и случая когато е равно на 0, т.е. х = 1, че не е решение на задачата. Може би е пропуснато тъй като и без това не влиза в решенията на задачата, но лично аз мисля че е грешка и трябва преди да се премахне да се опише и този случай.
Например ако неравенството беше записано не като
[tex]\frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-2)(x-3)}>0[/tex]
а като
[tex]\frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-2)(x-3)}\ge 0[/tex]
тогава 1 би било решение на неравенството.

1.x^4-x^2-a^2+3a-2=0
пол. y = x^2 ≥ 0
разглеждаме относно y
D = 1+4(a^2-3a+2) = 1+4a^2-12a+8 = 4a^2-12a+9 = (2a-3)^2
тогава
у₁ = (1+2а-3)/2 = а-1
у₁ = (1-2а+3)/2 = 2-а
тогава:
при а принадлежащо на [1;2] уравнението има корени:
х_1,2 = ±√(а-1)
х_3,4 = ±√(2-а)
като в границите има двоен корен

при а принадлежащо на (2;∞) уравнението има корени:
х_1,2 = ±√(а-1)

при а принадлежащо на (-∞;1) уравнението има корени:
х_1,2 = ±√(2-а)

Другите по-късно ще ги гледам, ако никой не го направил преди мен.

[complex]

А защо като дискриминантата на y е равна на [tex](a-\frac{3}{2 })^2 [/tex] ти я правиш равна на [tex](2a-3)^2 ?[/tex]

[r2d2]

Дискриминантата си е (2а-3)^2, a ти си смятал по съкратената формула и както често се случва си се объркал.

Съвет: Забрави за съкратената формула

[garion]

2 зад. [tex]\frac{2x^2 +2x -4}{x^2+x+1 }<a[/tex]

[tex]\frac{2x^2 +2x -4}{x^2+x+1 }-a<0[/tex]

[tex]\frac{2x^2 +2x -4}{x^2+x+1 }-\frac{ax^2 +ax + a}{x^2+x+1 }<0[/tex]

[tex]\frac{(2-a)x^2 +(2-a)x -4-a}{x^2+x+1 }<0[/tex]
Тъй като x² + x + 1 > 0 за всяко x то получаваме:
[tex](2-a)x^2 +(2-a)x -4-a<0[/tex]

Ако (2-a)>0 то
[tex]\lim_{x\to\infty }{((2-a)x^2 +(2-a)x -4-a)} = +\infty[/tex]
и значи не може да е изпълнено
[tex](2-a)x^2 +(2-a)x -4-a<0[/tex]
за всяко x.
Ако (2-a) = 0,т.е. а = 2, имаме -4<0 което е вярно за всяко х.

Нека (2-a) < 0. Тогава за да е изпълнено
[tex](2-a)x^2 +(2-a)x -4-a<0[/tex]
за всяко х, трябва
[tex]f_{max} = f(-\frac{b}{2a}) = f(-\frac{1}{2})<0[/tex]

[tex]\frac{2-a}{4}-\frac{2-a}{2} - 4 - a<0[/tex]

[tex]2-a-4+2a- 16 - 4a<0[/tex]

[tex]-3a-18<0[/tex]

[tex]-3a<18[/tex]

[tex]a>-6[/tex]
Но а > 2

Следователно

[tex]a\in(2;+\infty)[/tex]

Заб.: последното може и с детерминанта да се реши

[garion]

Зад. 3
За да има два положителни отговора неравенството трябва да е изпълнено:
D > 0 (това ни осигурява 2 различни корена)
х₁ * х₂ > 0 (това ни осигурява корените да са с еднакви знаци)
х₁ + х₂ > 0 (това ни осигурява корените да са положителни)

[complex]

Garion благодаря ти много за помощта, но имам още въпросчета.
1. [tex]x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2})(x+1)^2>0 [/tex] Защо в ДОх влиза и (х+1)² [tex]x\in (-\sqrt{2}; -1)\cup (-1;0)\cup (\sqrt{3};\infty ) [/tex] ако разделим от двете страни на [tex](x+1)^2[/tex] няма ли да се запази посоката?
2. [tex](x+15)^2(x+\frac{1}{ 3})(2x-1)(x+6)\le 0 [/tex] Защо тук пък в ДОх не влиза (х+15)² [tex]x\in (-\infty ;-6]\cup [-\frac{1}{3 };\frac{1}{ 2}] [/tex].
3. [tex](x-\frac{5}{2 })(x+2)^2(x+3)(x+4)<0 [/tex] Защо тук в ДОх отново влиза (х+2)² [tex]x\in (-\infty ; -4)\cup (-3; -2)\cup (-2;\frac{\sqrt{5} }{ 2} )[/tex]

[garion]

да, но ни е позволено да делим само на числа ≠ 0, а при х = -1 (х+1)²=0, което не удовлетворява неравенството и за това -1 се изключва от решенията
за второто не влиза защото е нестрого неравенство и при х=-15 израза е 0, а 0≤0 е винаги изпълнено. Следователно х=-15 е решение.
третия случай е аналогичен на първия - имаме строго неравенство

[complex]

Garion мисля, че те разбрах. Значи така както Емо решава задачата не е правилно така ли?

[garion]

Напротив. Вярно е!
Когато решаваме неравенство и го приведем така че от едната страна да има 0, няма значение дали ще го разглеждаме като частно или умножение - те са еквивалентни.

Когато задачите от типа, който Емо е решил е със нестрого неравенство(≤ или ≥). Тогава трябва да се внимава с граничните случаи при решението. Например ако задачата е:
[tex]\frac{(x-1)^2(x+1)}{-(x-2)(x-3)}\ge 0 \Leftrightarrow -(x-1)^2(x+1)(x-2)(x-3)\ge 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x+1)(x-2)(x-3)\le 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2)(x-3)\le 0, x\neq 2, 3;[/tex]
Тогава:
[tex]x \in (-\infty ; -1] \cup (-2; -3)[/tex]
Като при -2 и -3 е отворен интервала тъй като те не са решения от Д.О.

[complex]

Ехх... тамън си мислих, че съм го схванал... Ето как аз разбрах нещата които ти ми каза:
Ако имаме например неравенстото:
[tex](x+15)^2(x+\frac{1}{ 3})(2x-1)(x+6)\le 0 [/tex] Тогава включваме (х+15)² в решението защото когато х=-15 0=0 е решение, т.е. [tex]x\in (-\infty ;-6]\cup [-\frac{1}{3 };\frac{1}{ 2}] [/tex]
Когато имаме:
[tex](x+15)^2(x+\frac{1}{ 3})(2x-1)(x+6)<0[/tex] Тогава изключваме (х+15)² от решението защото ако х=-15 0<0 няма решение, т.е. [tex]x\in (-\infty ;-15)\cup(-15; -6)\cup (-\frac{1}{3 };\frac{1}{ 2}) [/tex]
Когато имаме:
[tex](x+15)^2(x+\frac{1}{ 3})(2x-1)(x+6)>0[/tex] Тогава [tex]x\in(-6;-\frac{1}{ 3})\cup (\frac{1}{2 }; +\infty ) [/tex] .
За първото което казваш: Да това го знам, но нали е строго неравенството и ако x=1 няма да има решение?
За второто: И това го знам.
Имам въпрос за още една задача. За кои стойности на параметъра а всяко решение на неравенството [tex]\frac{3x}{x^2+3}>1 [/tex] е решение и на неравенството [tex]x^2<ax[/tex]?

[garion]

ще карам подред:
за първите две си разбрал правилно. за третото малко си се объркал. той е същия като втория само дето е обърната посоката на неравенството. при х=-15 се получава 0>0, което не е изпълнено, затова х=-15 не е решение.
За последното. Трябва да решим двете неравенства и да намерим за кои стойности на а, интервалите на решението на първото неравенство са изцяло във интервалите на решението на второто.
[tex]\frac{3x}{x^2+3}>1 [/tex]
тъй като (х²+3) > 0, то можем да умножим двете страни на х²+3). тогава получаваме:
3х > х²+3
х²-3х+3<0
тъй като х₁ . х₂ = 3 и х₁ + х₂ = 3 стигаме до извода че и двата са положителни. нека 0 < х₁ < х₂. Следователно х е в интервала (х₁;х₂)
сега да разгледаме второто неравенство:
ако а=0, получаваме х²<0, което няма решение.
х(х-а)<0. ако а < 0то х ще принадлежи на интервала (а;0), но тъй като 0 < х₁ < х₂ няма как да се засекат. следователно а>0 и х пронадлежи на (0;а). за да бъде изпълнено условието трябва 0 < х₁ < х₂ ≤ а. тук трябва да ти обърна внимание на нестрогото неравенство. трябва да го има защото при а = х₂, решението на първото неравенство е (х₁;х₂), а на второто (0;х₂), което удовлетворява условието. от 0 < х₁ < х₂ ≤ а , трябва само да намерим стойностите на а за които е винаги е изпълнено последното неравенство. което вече ни води до системата:
f(a) ≥ 0 (което ни гарантира че е извън интервала (х₁;х₂))
a > 3 (което е средата на (х₁;х₂) и това ни гарантира че а≥х₂)

[r2d2]

[garion]