Да се намери производната

[savage309]

Задачата е да се намери f`(0) на фунцкията. Дали се получава -1/9 ?

[Реклама]

[Infernum]

[tex]f'(0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{\sqrt[3]{1+h}-1}{h}-\frac{1}{3} }{h}=-\frac{1}{9} [/tex]

[savage309]

Чудесно. Благодаря ти.

[r2d2]

Малко по-общо и подробно:

[Relinquishmentor]

Имам един въпрос. В точката 0 функцията очевидно е прекъсната. Как тогава може да има производна в тази точка ?

Очевидно е "мръсна дума' в математиката (r2d2)

[savage309]

Аз я намирам за непрекъсната в 0.

[Relinquishmentor]

Да, май вярно е непрекъсната.

[ганка симеонова]

в точка, в която ф-та не е определена, няма производна!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[r2d2]

[ганка симеонова]

да, така е. значи, лявата и дясната граница, ако са равни, тогава, числото, на което са равни ще е и граница

[ганка симеонова]

все пак производната е граница, нали? а, ако една ф- я има граница, в точка, значи лявата и дясната граница трябва, да съществуват и да са равни на едно и също крайно число ( под граница разбирам крайна граница) ))

[ганка симеонова]

давам пример с ф- та модиул х. ф-та е непрекъсната, но няма производна, в т. х=0, защото лявата производна е -1, а дясната 1. т.е. ф-та няма производна в, т. х=0, дори и да е непрекъсната в. х=о все пак тя си сменя монотоността и понеже производната не е дефинирана, това се нарича рогова точка..

[ганка симеонова]

Съгласна съм, че ф- та има производна. Задачата ще я реша на училищно ниво. Полагам
[tex] \sqrt[3]{1+x} =t [/tex]
Тогава[tex] x=t^{3}-1 [/tex] и функцията
добива вида [tex] g(t)=\frac{t-1}{t^{3}-1 }=\frac{1}{t^{2}+t+1}[/tex], за [tex] t\ne 1 [/tex] и [tex] g(t)=\frac{1}{3 }[/tex], за [tex] t=1 [/tex]
Очевидно ф- та е непрекъсната в 1, защото лявата и дясната граница са равни по между си и са равни на стойността на ф- та в точка 1. Првсмятам производната на ф-та :
[tex] g^{'}=-\frac{2t+1}{(t^{2}+t+1)^{2} }t^{'}=\frac{-1}{9 } [/tex]
Може да изглежда тромаво решение, но съм установила, че учениците не щат и да чуят, за [tex] lim\frac{\Delta y}{ \Delta x}[/tex], при [tex] \Delta x [/tex] клонящо към 0 )))